Сторона ромба 15 а большая диагональ 24 к окружности вписанной в ромб проведена касательная параллельная меньшей диагонали ромба найдите длину отрезка касательно заключённого между сторонами ромба​

Находим меньшую диагональ ромба.

ВД = 2√(15² - (24/2)²) = 2√(225 - 144) = 2*9 = 18.

Площадь ромба S = (1/2)18*24 = 216 кв.ед.

Радиус r вписанной окружности равен половине высоты ромба/

r = (1/2)*(216/15) = 7,2.

Длину отрезка касательной находим из пропорции подобных треугольников.

GH/BD = (12-7,2)/18.

GH = 18*(12-7,2)/18 = 7,2.

ответ: GG = 7,2.

Начнем с того, что вспомним: в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы ее противоположных сторон равны. 
Следовательно, сумма ее боковых сторон равна 2+8=10, а

каждая боковая сторона равна 5 см.

Угол наклона боковых граней пирамиды к плоскости основания образован радиусом окружности основания конуса и высотой треугольников - боковых граней пирамиды.

Нам необходимо знать диаметр основания конуса, который в то же время является высотой трапеции. 
Опустив высоту к большему основанию из вершины В трапеции, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 см и катетами 
один =3 см (полуразность оснований) и
второй - высота трапеции
h= D основания конуса
h²=25-9=16
D=h=√16=4 см
r=2см
Для нахождения высоты конуса ( и пирамиды) применим формулу объёма конуса 
V= ⅓ S H= ⅓ π r² H
Объём конуса по условию равен ( 8п√3):3 см
⅓ π4 H=( 8п√3):3
4 π H:3=( 8п√3):3
4 H = 8 √3 
Н=2√3 см
РО=Н=2√3

Повторюсь:
Угол наклона боковых граней пирамиды к плоскости основанияобразован радиусом окружности основания конуса и высотойтреугольников - боковых граней пирамиды. 
РМ=РК=РН=√(РО²+ОМ²)=√(12+4)=4 см
ОК=ОМ=r=2 см
Если в прямоугольном треугольнике, какими, без сомнения, являются треугольники КОР и МОР, катет равен половине гипотенузы, то он противолежит углу 30°, а второй острый угол в таком треугольнике равен 60°.

То, что диаметр основания конуса равен его образующей,   подтверждает найденное решение. 
ответ:

искомый угол равен 60°.

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. ⇒

АО=12:3•2=8

CO=15:3•2=10

 Весь треугольник разделяется своими тремя медианами на шесть равновеликих  (равных по площади) треугольников.  Если провести медиану из В к АС, то 

площадь ∆ АОС =2•1/6 S ABC=1/3 S ABC

По т.Герона площадь треугольника 

S=√(р•(р-а)•(p-b)•(p-c), где а, b и c - стороны треугольника, р - его полупериметр. 

р ∆ АВС=(12+8+10):2=15

По т.Герона S ∆AOC=√15•(15-8)•(15-10)•(15-12) 

S ∆ AOC=√15•7•5•3=15√7⇒

S ∆ ABC=3•15√7=45√7 (ед. площади)