Дан треугольник . — биссектриса угла . Вычисли угол , если ∢=106°. ∢= ?

Биссектриса угла делит его на две равные части.

106 : 2 =  53°

ответ: ∠JHI = 53°

Пишу в ответ, потому что пятая задача полезная, хоть и простая, может, еще кому пригодится.
1) Произведение стороны на высоту к ней равно удвоенной площади, поэтому вторая высота 2.
2) Пусть M лежит на ВС, N на AC, K на AB. О - центр окружности. Пусть угол KMP = α; тогда угол KOP = 2*α; углы OKA и ONA - прямые, поэтому угол BAC = 180° - 2*α; также вычисляются и другие углы. 88°; 48°; 44°;
3) Центр вписанной окружности делит биссектрису в пропорции (a+b)/c; или (P-c)/c; где с - та сторона, к которой проведена биссектриса.
[Это очень просто доказать - надо два раза применить известное свойство биссектрисы, сначала к стороне с - она делится биссектрисой на отрезки ca/(a+b) и cb/(a+b); так как центр окружности лежит на всех трех биссектрисах, то сама биссектриса к стороне с делится биссектрисой к стороне b на отрезки в отношении a/(ca/(a+b)) = (a+b)/c;]
То есть 34/13 = (P - 39)/39; P = 141;
4) Тр-ки ABC и AHB подобны;AH/AB = AB/AC; AB^2 = 5*45; AB = 15;
5) Если продлить AB и DC до пересечения в точке E, то тр-к ADE прямоугольный. Так как ВCE подобен ADE, то BE/AE = 9/45 = 1/5; и AE - BE = 24; откуда BE = 6; AE = 30;
Пусть O - центр окружности, N точка касания её c CD, M - середина AB. О конечно же лежит на перпендикуляре к АВ в его середине, поэтому ОМEN ( :) ) - прямоугольник. То есть радиус окружности 6 + 24/2 = 18;

какое из следующих утверждений неверно?

а) Если высота треугольника делит сторону, к которой она проведена ,на равные отрезки ,то этот треугольник-равнобедренный.   ВЕРНО

б) Если медиана и биссектриса,проведенные из одной вершины,не совпадают,то этот треугольник не является равнобедренным.  НЕВЕРНО

Медиана и биссектриса, проведенные к боковой стороне  равнобедренного треугольника, не совпадают. Совпадают только проведенные к основанию.

в) Если треугольник равносторонний ,то длина любой его высоты равна длине любой его биссектрисы.   ВЕРНО

г) Если два угла треугольника равны ,то биссектриса третьего угла делит противолежащую сторону треугольника на равные отрезки.  ВЕРНО

ответ : неверное утверждение б)