Дан прямоугольный треугольник LKP, угол K-прямой. Из вершины L к катету KP проведена биссектриса LB и BP/BK=5/3. Чему равен косинус угла LPK?

Пусть О - точка пересечения медиан треугольника АВС. Треугольники AOP и BOM подобны по двум углам (два угла равны по условию, еще два угла вертикальные). Тогда:

\frac{AO}{OB} = \frac{PO}{OM}

OB

AO

=

OM

PO

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то:

\begin{gathered}\frac{ \frac{2}{3} AM}{ \frac{2}{3} BP} = \frac{\frac{1}{3}BP}{\frac{1}{3}AM} \\\ \frac{ AM}{ BP} = \frac{BP}{AM} \\\ AM^2=BP^2 \\\ \Rightarrow AM=BP=1\end{gathered}

3

2

BP

3

2

AM

=

3

1

AM

3

1

BP

BP

AM

=

AM

BP

AM

2

=BP

2

⇒AM=BP=1

Если медианы, проведенные к двум сторонам треугольника равны, то и сами стороны также равны. Значит, АС=ВС и треугольник АВС равнобедренный.

Рассмотрим треугольник АМС. По теореме косинусов, учитывая соотношение АС=2СМ, получим:

\begin{gathered}AM^2=AC^2+CM^2-2\cdot AC\cdot CM\cdot\cos ACB \\\ 1^2=(2CM)^2+CM^2-2\cdot 2CM\cdot CM\cdot0.8 \\\ 1=4CM^2+CM^2-3.2CM^2 \\\ 1=1.8CM^2 \\\ CM^2= \frac{1}{1.8} = \frac{5}{9} \\\ CM= \frac{ \sqrt{5} }{3}\end{gathered}

AM

2

=AC

2

+CM

2

−2⋅AC⋅CM⋅cosACB

1

2

=(2CM)

2

+CM

2

−2⋅2CM⋅CM⋅0.8

1=4CM

2

+CM

2

−3.2CM

2

1=1.8CM

2

CM

2

=

1.8

1

=

9

5

CM=

3

5

Следовательно стороны в два раза больше: AC=BC= \frac{2 \sqrt{5} }{3}AC=BC=

3

2

5

Тогда площадь треугольника найдем как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними:

$$\begin{gathered}S= \frac{1}{2} \cdot AC\cdot BC\cdot \sinACB \\\ S= \frac{1}{2} \cdot AC^2\cdot \sqrt{1-\cos ACB} \\\ S= \frac{1}{2} \cdot ( \frac{2 \sqrt{5} }{3})^2\cdot \sqrt{1-0.8}=\frac{1}{2} \cdot \frac{4\cdot5 }{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{3}\end{gathered}$$

ответ: 2/3

1. Дано: КМРТ - трапеция, КМ=РТ, КТ=14 дм, МР=8 дм. МН - высота, МН=4 дм. Найти КМ.

Решение: проведем высоту РС.

МР=СН=8 дм.

ΔКМН=ΔРСТ по катету и гипотенузе, КН=СТ=(14-8):2=3 дм.

Рассмотрим ΔКМН - прямоугольный, КН=3 дм, МН=4 дм, значит КМ=5 дм (египетский треугольник).

ответ: 5 дм.

2. Дано: КМСТ - прямоугольник, Р=56 см, КТ-МК=4 см. Найти МТ.

Решение: МК+КТ=56:2=28 см.  Пусть КТ=х см, тогда МК=х-4 см.

Составим уравнение: х+х-4=28;  2х=32;  х=16.

КТ=16 см;  МК=16-4=12 см. Тогда по  теореме Пифагора

МТ=√(16²+12²)=√(256+144)=√400=20 см.

(или просто: МТ=20 см, т.к. МК:КТ=12:16=3:4;  МКТ - египетский треугольник)

ответ: 20 см.

Даны : А(2,1,0), М(3,-2,1), N(2,-3,0).

Находим координаты направляющего вектора прямой NM:

NM: (1; 1; 1).

Принимаем координаты направляющего вектора прямой NM как соответствующие координаты нормального вектора n плоскости α :

n = (A; B; C). То есть, A = 1, B = 1, C = 1.

Записываем уравнение плоскости, проходящей через точку А(2; 1; 0) и имеющей нормальный вектор n(A; B; C), в виде:

A(x -x1) + B(y - y1) + C(z - x1) - это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.

Подставляем данные -

α: 1(x -2) + 1(y - 1) + 1z = x + y + z - 3 = 0.

ответ: уравнение плоскости α: x + y + z - 3 = 0.