На листе бумаги нарисована линия АВ и точка М вне линии. Лист сложили пополам вдоль линии. В точке М сложенный лист проткнули иголкой. В результате на другой части сложенного листа появилась дырочка. Обозначим ее N. Доказать, что MN перпендикулярна АВ решить

Сечение перпендикулярно  к плоскости ABC означает , что оно перпендикулярно  и плоскости ABCD(через три точки проходит единственная плоскость).
Из точки O провести перпендикуляр OH к плоскости основания ABCD:  OH┴ (ABCD) ; H ∈ AC  , т.к. ( SAC) ┴ (ABCD). 
 плоскость Δ -ка SAC  ┴ плоскости  ABCD ; (SAC) проходит через высоту пирамиды  
(DOH) ┴(ABCD)_ проходит через  OH которая ┴ (ABCD).
Через точки  D и  H  провести линию (находится в плоскости ABCD)
которая пересекается  со стороной BC допустим в точке E.
Сечение DOE искомое.
(DO∈(DSC) ;DE∈(ABCD) ; OE ∈(BSC)

***плоскости ABC и ABCD одна и та же***

SABCD -правильная четырехугольная пирамида. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через DO (точка О-внутренняя точка отрезка SC) и перпендикулярной плоскости ABC.

Если искомая площадь перпендикулярна плоскости АВС, то она перпендикулярна плоскости АВСD. 

Проведем диагональное сечение АSС пирамиды .

О лежит на ребре SC и принадлежит этому диагональному сечению. 

Опустим  в  плоскости ∆ ASC из О перпендикуляр  ОН на АС (он  лежит в плоскости диагонального сечения, перпендикулярной основанию, параллелен высоте пирамиды, и потому перпендикулярен её основанию).  

Через D и Н проведем прямую до пересечения с ВС в точке К. 

Соединим D, О и К. 

Через 3 точки можно провести плоскость, притом только одну. 

Плоскость ∆ DОК - сечение пирамиды. 

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

 Плоскость ∆ DОК  проходит через ОН, перпендикулярный плоскости основания, и является искомым сечением