В треугольнике ABC биссектриса угла С пересекает сторону AB в точке М, а биссектриса угла A пересекает отрезок CM в точке Т. Оказалось что отрезки CM и AT разбили треугольник на три равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольник ABC

Объяснение:

Дано: ΔАВС

СМ - биссектриса ∠С

АТ - биссектриса ∠А

ΔМАТ; ΔАТС; ΔВМС - равнобедренные

________________________________

∠А; ∠В; ∠С-?

∠1=∠2 (усл)

∠2=∠3 (ΔАТС - равноб)

∠3=∠4 (усл)

∠4=∠5 (ΔМВС - равноб)

⇒ ∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=α

5α=180° (сумма углов Δ)

α=36°

⇒ ∠А=72°; ∠В=36°; ∠=72°

В ∆ АВС стороны АВ=ВС, ВК - биссектриса. 

Рассмотрим ∆ АВК и ∆ СВК.  

АВ=ВС, ВК - общая, угол АВК=СВК. ⇒  Треугольники равны по первому признаку: по двум сторонам и углу, заключенному между ними. 

Из равенства треугольников  ∆ АВК и ∆ СВК   следует МК=СК⇒

ВК - медиана ∆ АВС. 

В равных треугольниках углы, противолежащие равным сторонам, равны. ⇒

∠ВКА=∠ВКС

АКС – развернутый угол и равен 180°. 

ВК делит его на два равных с градусной мерой 180°:2=90°  ⇒ 

ВК⊥АС и является высотой равнобедренного треугольника АВС.

Геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки, называется треугольник. Если стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр (высоту) к прямой, и притом только один (одну). Медианой называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона - основание. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является высотой и медианой.