Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, касается сторон BC, CA, AB в точках А1, В1, С1, соответственно. Пусть В1Н — высота треугольника А, В, С (точка H лежит на стороне C1A1 Докажите, что АН – биссектриса<САВ​

I - центр вписанной окружности.  

A1IB1C - прямоугольник (радиусы в точку касания перпендикулярны касательным)

A1IB1=90 => A1C1B1 =45

△B1HC1 - равнобедренный (углы 45, 90)

△B1AC1 - равнобедренный (отрезки касательных из одной точки равны)

Серединный перпендикуляр к основанию B1C1 является биссектрисой угла A.

Точки A и H лежат на серединном перпендикуляре к B1C1, значит на биссектрисе угла А.

Объяснение: Третий угол прямоугольного треугольника=180-(90+45)=45, значит это равнобедренный прямоугольный треугольник и медиана будет также являться биссектрисой т е треугольник образованный этой медианой (биссектр.) будет равнобедренным т к биссектриса делит угол в 90 пополам. Этот треугольник будет равнобедренным и его боковые стороны(медиана и половина гипотенузы)  будут равны (4см). Т к медиана делт сторону пополам и мы знаем половину стороны, то длина гипотенузы=8см

 

уголВ=углуС= 180-(90+45)=45, значит АВ=АС=4см

АD-биссектриса,мадиана, высота, значит угол DAC=DCA=45 т е AD=DC=4см

BD=DC=4см, значит ВС=8 

Объяснение: Рисуем треугольник АВС. Угол А - прямой.

Проводим высоту АК на сторону СВ.

ВК = 6 см

КС = 2 см

Составляем уравнения теоремы Пифагора

АК^2 = AC^2 - KC^2

или

АК^2 = AC^2 - 4 [уравнение 1]

AK^2 = AB^2 - BK^2

или

AK^2 = AB^2 - 36 [уравнение 2]

AB^2 + AC^2 = BC^2

или

AB^2 + AC^2 = 64 [уравнение 3]

Складываем уравнени [1] и [2]

2 * АК^2 = AC^2 + AB^2 - 40

Вместо суммы квадратов катетов подставляем значение квадрвта гипотенузы из уравнения 3

2 * АК^2 = 64 - 40

АК^2 = 12

Находим катет АС

АС^2 = AK^2 + KC^2 =

AC^2=12 + 4 = 16

AC = 4 см

sin В = АС/СВ = 4/8 = 1/2

В = 30 гр

С = 60 град

Подробнее - на -