Сызбадан тең болатын үшбұрыштар жұбын тауып, олардың теңдігін дәлелдеңіз. Дәлелдеуі: ∆DOE=∆COF( I б.б)⇒DE=CF ∆DEF=∆CFE (III б.б), себебі EF-ортақ, DE=CFжәне есеп шарты бойынша DO=OC, OE=OF болғандықтанDF=CE⇒∠DFE=∠CEF ∆DAF=CBE(I б.б), DF=CE, AF=BE, AE=BF, EF-ортақ, ∠DFA=∠CEB⇒AD=BC ∆AED=∆BFC(III б.б) Дәлелденді.

  Вспомним: В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из  прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.  Следовательно, наша задача построить прямоугольный треугольник с высотой, которая делит гипотенузу на отрезки 3 см и 4 см.

 Построение: На произвольной прямой чертим отрезок АН=3 см,  продлеваем его на НВ=4 см.

  Отрезок АВ равен сумме заданных отрезков. Общепринятым методом делим АВ пополам, середину обозначим т.О.  Циркулем чертим из О, как из центра,  окружность радиуса АО=ОВ. Из т.Н возводим перпендикуляр. Точку его пересечения с окружностью отметим С. Треугольник АВС - прямоугольный ( т.к. вписанный угол АСВ=90°, т.к. опирается на диаметр  построенной окружности), его высота СН - среднее пропорциональное отрезков АН=3 см и ВН=4 см, (Из подобия треугольников АСН и ВСН следует отношение СН:АН=ВН:СН⇒ СН²=АН•ВН)

Точки касания поверхности сферы и плоскостей ASB, BSC и ASC  - это точки касания касательных к поверхности шара, проведённых из точки S.
Все касательные к сфере, проведённые из одной точки, равны. В нашем случае это 4√3 см. Касательная и радиус окружности, проведённый к точке касания, перпендикулярны, значит достаточно рассмотреть один прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара ОМ, касательной SM и искомым расстоянием SО, где SO²=SM²+ОМ².

Площадь сферы: S=4πR² ⇒ R=√(S/4π)=√(64π/4π)=4 см.
SO²=(4√3)²+4²=64,
SO=8 см - это ответ.

Построение можно представить в виде перевёрнутой правильной треугольной пирамиды без основания в которую поместили шар, касающийся своей поверхностью боковых граней пирамиды.