Дана наклонная призма ABCA1B1C1, ∠BAA1 =∠CAA1 =45◦. Найдите угол между плоскостями BAA1 и CAA1, если в основании призмы лежит правильный треугольник ABC. ответ дайте в градусах. С рисунком

Из точки "b" и точки "с" опустить два перпендикуляра на ребро а1. Обозначим эту точку как "d". Длина bd=cd=L1=L*cos(45град), где L - длина стороны треугольника основания.

Далее уравнение с неизвестным углом FI для треугольника bdc:

L²=L1² + L1² - 2 * L1² * cos(FI), отсюда подставляя L1 получим cos(FI)=0, т. е. FI=90град

Task/3627055

Дано :
ABCD - параллелограмм
Пусть ∠A =∠C  _острые углы  ;
AB =BD = 8 ;
AC =8√2 .

S(ABCD) -?

Пусть O точка пересечения диагоналей AC и BD. S(ABCD) =4*S(∆ ABO) .
* * *т.к. диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам* * * Треугольник ABO определен  однозначно по трем сторонам и его площадь можно вычислить разными например, по формуле Герона: 
S(∆ABO) = √p( p-a)(p-b)(p-c) , где p=(a +b+c)/2 _полупериметр .
* * *a =AO = AC/2 =4√2 , b=BO =BD/2 =4, c =AB=8 , p =6+2√2  * * * S(∆ABO)=√(6+2√2)(6-2√2)(2√2+2)(2√2-2)=4√(3+√2)(3-√2)(√2+1)(√2+1)=4√7.
S(ABCD) =4*S(∆ ABO) =4*4√7=16√7  кв.ед.

Второй

Для  параллелограмма :  2(AB² +AD²) =AC²+BD² ;
2(8² +BC²) = (8√2)² +8² ⇒ AD =4√2 .
S(ABCD) =AD*h,а высоту h удобно определить из равнобедренного ΔABD .
 h = √(AB² -(AD/2)²) =√(8² -(2√2)²) =2√2 *√7. 

S(ABCD) =AD*h =4√2*2√2 *√7=16√7 кв.ед.

ответ :  16√7 кв.ед.

Дано:                                                     Решение:
         ∠AOB = 1/9 ∠BOC            ∠AOB = ∠COD  и  ∠BOC = ∠DOA  как                   
            вертикальные углы при пересекающихся
Найти: ∠AOB; ∠BOC;                  прямых.
           ∠COD; ∠DOA                  Тогда: ∠AOB = ∠COD = х
                                                            ∠BOC = ∠DOA = 9х
                                                  Сумма всех 4-х углов - 360°
                                                  2*(х + 9х) = 360
                                                   10х = 180
                                                       х = 18      9х = 162
    
 ∠AOB = ∠COD = 18°
 ∠BOC = ∠DOA = 162°

(рисунок внизу)