рямі AB, AC i DF дотикаються до кола у точках В, С, Е відповідно. Знайдіть відрізок АВ, якщо периметр трикутника ADF дорівнює 16 см.

ответ: S = 90

Объяснение:

Сделаем дополнительные построения (на рисунке).

Из треугольника EFD найдем высоту DF.

DF²= ED²-EF² = 117 - 81 = 36 и отсюда DF = 6

В новом параллелограмме BEDF диагонали пересекаются и делятся пополам, значит ОЕ = OF = EF/2 = 4,5

Из треугольника ОFD по Пифагору найдем OD

OD² = OF² + FD² = 4,5²+6² = 56,25 и тогда OD = 7,5

Но диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам, то есть АС=BD = 7,2*2 = 15

Теперь найдем синус угла между диагоналями <FOD из того же треугольника OFD

sin(FOD) = ED/OD = 6/7.5 =

S = 0,5*AC*BD*sin(FOD) = 0,5*15*15*4/5 = 90

Через произвольную точку P  стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что медианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.​

Объяснение:

1) Медианы треугольника точкой пересечения делятся 2:1 , считая от вершины:  ОК=1/3*АК  ; LO=1/3*LC.

2)РЕ║АК  ⇒  RE=1/3*PE,

   PF║CL  ⇒   QF=1/3*PE.

3)ΔREN подобен ΔPEF ( по 2 углам, там целая куча соответственных   углов), значит сходственные стороны пропорциональны⇒

EN/EF=RE/PE  или EN/EF=1/3 или EN=1/3*EF ;

  ΔQFM подобен ΔPFE( по 2 углам) ,значит сходственные стороны пропорциональны⇒ FM/EF=QF/PE  или FM/EF=1/3 или FM=1/3*EF.

4) Получили , что  M и N разделили отрезок FE на 3 равные части.