Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике диагонали точкой их пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник-параллелограмм.

рассмотрим четырехугольник авсд, в котором диагонали пересекаются в точке о и делятся этой точкой пополам. треугольники аов и сод равны по двум сторонам и углу между ними, то равны и соответственные элементы этих треугольников. например, сд=ав, угол вао= углу дсо, то сд параллельна ав по признаку параллельности двух прямых. а раз в четырехугольнике 2 стороны равны и параллельны, то это параллелограмм (по признаку параллелограмма) .

поскольку  тангенс угла вас равен 3/4, треугольник авс - "египетский", то есть подобный треугольнику со сторонами 3,4,5. 

высота к гипотенузе ср делит треугольник авс на два, ему же подобных (из за равенства острых углов), то есть треугольник вср тоже "египетский".

следовательно, его стороны можно представить, как 3х, 4х, 5х, и радиус вписанной окружности равен

r = (3х + 4х - 5х)/2 = х;

то есть x = 8, и стороны вср таковы 24, 32, 40.

на самом деле, ответ уже найден, поскольку соотношение  r = (3х + 4х - 5х)/2 = х; связывает коэффициент подобия с радиусом (они просто равны, поскольку   у   "чисто" египетсткого треугольника 3,4,5 r = 1).

в данном случае вс = 40, и она соответствует стороне 3, то есть r = 40/3.

поскольку  тангенс угла вас равен 3/4, треугольник авс - "египетский", то есть подобный треугольнику со сторонами 3,4,5. 

высота к гипотенузе ср делит треугольник авс на два, ему же подобных (из за равенства острых углов), то есть треугольник вср тоже "египетский".

следовательно, его стороны можно представить, как 3х, 4х, 5х, и радиус вписанной окружности равен

r = (3х + 4х - 5х)/2 = х;

то есть x = 8, и стороны вср таковы 24, 32, 40.

на самом деле, ответ уже найден, поскольку соотношение  r = (3х + 4х - 5х)/2 = х; связывает коэффициент подобия с радиусом (они просто равны, поскольку   у   "чисто" египетсткого треугольника 3,4,5 r = 1).

в данном случае вс = 40, и она соответствует стороне 3, то есть r = 40/3.