. Точка O не лежить у площині трикутника ABC, точки M, P і K належать відрізкам AO, BO і CO так, що ∠OMP = ∠OAB, ∠OPK = ∠OBC. Доведіть, що площини ABC і MPK паралельні

Допустим, тебе дан треугольник АВС(угол А прямой). АВ = 15, ВС=17. За Т. Пифагора находим 3ю сторону, она равна 8. 
Проводим от центра круга серединные перпендикуляри в точки дотику(извини, я учусь в Украине, не знаю, как это будет по-русски). обозначим их ОК, ОМ, ОН

За властавістю дотичних(тоже самое), проведеных с одной точки к кругу СМ=СН, НВ=ВК, АК=АМ. Рассмотрим квадрат АКОМ (т.к КА=АМ, ОМ=ОК(как радиуси), угли А, М, К - прямые => АКОМ - квадрат)
пусть сторона квадрата равна х. тогда КВ = 5-х (за осн. вл. длинны отрезка)

КВ=ВН=15-х

аналогично, НС=Сн=8-х

ВС= 17см. Вс=ВН+НС. НС=8-х, ВН=15=х. 17=8-х+15-х; х=3
радиус круга =3. Площадь круга=радиус в квадрате умножить на число пи
Площадь данного круга равна 9Пи 

Здесь и не пахнет ортогональными проекциями. Вот решение.

В плоскости СDK проведем DM перпендикулярно СК, ясно, что М - середина СК. Легко сосчитать, что DM = 24 (треугольник СMD - пифагоров 7,24,25). Соединим Е и К. Само собой, ЕМ перпендикулярно СК, и ЕМ = 7. Ясно, что ЕКМ - линейный угол двугранного угла между CKD и CKE (ну, СК перпендикулярно плоскости ЕМD). Поэтому ПРОСТО берем треугольник EMD со сторонами 7, 24, 23 и ищем косинус угла против стороны 23 (ну просто учебное упражнение по теореме косинусов).

cos(Ф) = (24^2 + 7^2 - 23^2)/(2*24*7) = 96/336 = 2/7;

С какого бока тут пристегнуть  ПЛОЩАДЬ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ МНОГОУГОЛЬНИКА, я со своим малюсеньким IQ догадаться не могу :((( хотя подозреваю, что и Эркюль Пуаро вряд ли бы догадался.