На рисунку 274 кут АОВ = куту СОD , кут АОС = куту СОЕ. Доведіть, що кут АОС = куту

Дан ромб с острым углом α = 30° и радиусом вписанной окружности r = 3 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом  β = 60°.

В ромбе радиус вписанной окружности связан непосредственно со стороной через синус угла α. Сам радиус по определению представляет собой половину высоты ромба, которая равна стороне ромба, умноженной на синус угла α из образованного прямоугольного треугольника.

Высота в таком случае получается равна двум радиусам.

 2r =  a sin⁡α.

Отсюда находим сторону а ромба и его периметр Р:

а =   2r/sin⁡α = 2*3/0,5 = 12 см.

Р = 4а = 4*12 = 48 см.

Находим апофему А:

А = r/cos β = 3/cos 60° = 3/0,5 = 6 см.

Sбок = (1/2)РА = (1/2)*48*6 = 144 см².

Обозначим пирамиду MABCD, МО - высота пирамиды, МН - высота боковой грани. 

Так как все грани наклонены к основанию под одинаковым углом, высоты граней равны между собой и их проекции равны радиусу вписанной в основание окружности. 

МН=ОН:cos∠МНО=3•cos60°=6. 

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней или произведению высоты грани на полупериметр основания, что то же самое.

Рассмотрим основание ABCD пирамиды MABCD. 

Диаметр вписанной в ромб окружности равен высоте этого ромба. Радиус вписанной окружности по условию равен 3. 

d=КВ=2r=6

Высота DH=d=6

DH⊥АВ, противолежит  углу 30°⇒сторона ромба АВ=2•DH=12

Периметр ромба 12•4=48. 

Ѕ(бок)=МН•Р:2=6•48:2=144 (ед. площади)