Даны четыре точки: A (0; 1; –1), B (1; –1; 2), C (3; 1; 0), D (2; –3; 1 Найдите синус угла между прямой AB и плоскостью BCD.

Обозначим пирамиду МАВС, центр шара О1, его диаметр МК. 

Высота пирамиды  МО=10 см. Сторона основания АВ=АС=ВС=9 см. 

Основание пирамиды лежит в плоскости описанной вокруг него окружности с центром О. (см.рис.№1) 

 Радиус описанной окружности правильного треугольника равен а/√3: ОА=9/√3=3√3, 

Рассмотрим схематический рисунок. 

Пусть ОО1 -расстояние от центра шара до центра основания пирамиды  равно х. Тогда R=10-х.

Из прямоугольного ∆ АОО1 

R²= АО1*=OO1²+AO²=x²+27

R²=(10-x)²=100-20x+x²; R²=R² ⇒

x*²+27=100-20x+x² откуда 

20х=73; х=3,65; ⇒R=10-3,65=6,35 см

По формуле объема шара V=4πR²/3= ≈1072,53 см³

CosA=5/7=44 градуса                                                                                             
По теореме о сумме углов треугольника имеем:
Угол А + угол В + угол С = 180 градусов;
44 градуса + угол В + 90 градусов = 180 градусов;
угол В = 180 градусов-44градуса-90градусов=46 градусов.
По теореме синусов имеем:                                                                                     АС/sinB=AB/sinC;                                                                                                     15/sin46 = AB/sin90                                                                        АВ=15*sin90/sin46=15*1/0.7193=приблизительно 20