С циркуля и линейки разделите данный отрезок на 5 частей. очень

Первое, что приходит на ум в случае с квадратом. Любой треугольник либо является прямоугольным, либо может быть представлен, как два прямоугольных треугольников с общим катетом, который можно считать высотой.
Прямоугольный треугольник можно достроить до прямоугольника, при этом очевидно, что искомый треугольник будет занимать ровно половину этого прямоугольника, а значит и его площадь будет равна половине площади прямоугольника. Sпр = произведению сторон, Sпр тр = 1\2 *Sпр = 1\2 *произведение катетов. Любой из катетов по сути является высотой, а второй - основанием.
В случае, когда искомый треугольник, как оговаривалось выше, не является прямоугольным, а представляется в виде двух прямоугольных, не трудно заметить, что две стороны прямоугольных, а именно их основание составляют основание исходного, а высоты этих треугольников совпадают с высотой исходного.
Нагляднее показать формулой:
S не пр = Sпр1 + Sпр2 = 1\2 *а*b + 1\2*b*c = 1\2*b*(a+c), где b - высота, а (a+c) - основание исходного треугольника. Понимаю, что в тексте не очень, но постарался донести идею.
Трапеция аналогично представляется в виде двух треугольников и прямоугольника. Затем проводится аналогичное доказательство. Вот.

Пусть угол при основании b, длина основания L, радиусы r и R;
2*b = 180 - a; b = 90 - a/2; b/2 = 45 - a/4;
L = 2*R*sin(a); теорема синусов.
r /(L/2) = tg(b/2); центр вписанной окружности лежит на биссектрисе.  
r = R*sin(a)*tg(b/2);r/R = sin(a)tg(45 - a/4); это уже ответ :))) его можно упростить.
Если умножить и разделить на 2*соs(45 - a/4); то
r/R = sin(a)*(2*sin(45 - a/4)*cos(45 - a/4))/((2*(cos(45 - a/4))^2) - 1 + 1);
r/R = sin(a)*sin(90-a/2)/(cos(90 - a/2)+1) = sin(a)*cos(a/2)/(sin(a/2)+1);
r/R = 2*sin(a/2)*(cos(a/2))^2/(sin(a/2)+1) = 2*sin(a/2)*(1 - (sin(a/2))^2)/(sin(a/2)+1); 
r/R = 2*sin(a/2)*(1 - sin(a/2)); 
если a = 60°; a/2 = 30°; sin(a/2) = 1/2; r/R = 1/2; как и должно быть.