В треугольнике ABC проведены медианы BL и CN, пересекающиеся в точке М. Пусть 2 — середина отрезка BM, а R – середина СМ. Известно, что площадь треугольника QAR равна 15. Чему равна площадь треугольника АВС?

QR - средняя линия в BMC

QR||BC, QR=1/2 BC

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1 от вершины.

AK - медиана, AM:MK =2:1

По теореме Фалеса QR делит MK в том же отношении, что и MB - пополам. Следовательно QR делит AK в отношении 5:1 и в том же отношении делит AH.

AE =5/6 AH

S(QAR)/S(ABC) =QR*AE/BC*AH =1/2 *5/6 =5/12

S(ABC) =15* 12/5 =36

Дан параллельный вектор e¯¯¯={1,−6,−4}.

Для уравнения плоскости нужен нормальный (то есть перпендикулярный) вектор.

Их произведение (скалярное) равно нулю.

Примем одну координату за 0 - по оси Oz.

Получим нормальный вектор (6; 1; 0)

В уравнение плоскости подставим координаты точки М0:

6*(x - 7) + 1*(y - 2) + 0*(z - 9) = 0.

6x - 42 + y - 2  = 0, получаем уравнение:

6x + y - 42 = 0.

Делаем проверку - подставляем координаты точки M1(7,3,10).

6*7 + 3 - 42 = 3. Не проходит плоскость через эту точку.

Тогда нормальный вектор находим как векторное произведение векторов М0М1 и e¯¯¯={1,−6,−4}.

Вектор М0М1 = M1(7,3,10) - M0(7,2,9) = (0; 1; 1)

i      j      k|     i     j

0    1      1|     0    1

1    -6   -4|    1      -6  = -4i + 1j + 0k -0j + 6i - 1k = 2i + 1j - 1k.

Получаем координаты нормального вектора (2; 1; -1) и точку M0(7,2,9).

Уравнение плоскости: 2(x - 7) + 1(y - 2) - 1(z - 9) = 0.

2x - 14 + y - 2 - z + 9 = 0.

2x  + y  - z - 7 = 0.

Проверяем М0: 2*7 + 1*2 - 1*9 - 7 = 14 + 2 - 9 - 7 = 0,

          M1(7,3,10): 2*7 + 1*3 -1*10 - 7 = 14 + 3 - 10 - 7 = 0.

Верно.

ответ: уравнение плоскости 2x  + y  - z - 7 = 0.                  

1 задача-Наименьшая высота  - это высота, проведенная к наибольшей стороне треугольника.Высоту можно найти, зная площадь треугольника. Применим формулу площади Герона. Площадь треугольника по формуле Герона :Площадь треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром p равна выражению:      S=√{p (p−a) (p−b) (p−c) }
Находим по этой формуле площадь треугольника=360 см³Высоту находим из классической формулы площади треугольника:S=½hah=S:½ а, где а - сторона. к которой проведена высота. h=360:(36:2)=20 см