По координатам вершин пирамиды А1 А2 А3 А4 найти: длины ребер А1 А2 и А1 А3; уравнения прямых А1 А2 и А1 А3; уравнение медианы А3М грани А1 А2 А3; угол между ребрами А1 А2 и А1 А3; площадь грани А1 А2 А3; объем пирамиды. координаты: A1 (2, -1, 1) A2 (1, -1, 5) A3 (0, 0, 1) A4 (2, 1, 3)

1. Найдем угол B. Угол B=90-60=30 градусов. Сторона AC лежит напротив угла 30 градусов, а по свойству прямоугольного треугольника AC=1/2AB. AB=16.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны => (180-112)/2=34
3. Найдем один из углов треугольника. Внешний угол равен 15, значит внутренний угол равен 180-15=165. Сумма углов треугольника равна 180 градусов, углы не смежные с данным внешним углом,относятся как 1:4. Составим уравнение.
x+4x+165=180
5x=180-165
5x=15
x=3
Наибольший угол равен 3*4=12 градусов.

№2 призма АВСДА1В1С1Д1, в основании трапеция АВСД, АВ=СД=3, АД=8, уголА=угоД=60, проводим высоты ВН и СК на АД, НВСК-прямоугольник НК=ВС, ВН=СК,

треугольник АВН=треугольник КСД как прямоугольные по гипотенузе и острому углу, АН=КД, треугольник АВН, уголАВН=90-уголА=90-60=30, АН=1/2АВ=3/2=1,5, ВН=АВ*sin60=3*корень3/2=1,5*корень3, НК=АД-АН-КД=8-1,5-1,5=5=ВС

треугольник АСК прямоугольный, АК=АН+НК=1,5+5=6,5, АС=корень(АК в квадрате+СК в квадрате)=корень(42,25+6,75)=7=высота призмы=ДД1=СС1=ВВ1=АА1,

боковая поверхность=периметрАВСД*ДД1=(3+3+5+8)*7=133

№1 параллелепипед АВСДА1В1С1Д1, в основании параллелограмм АВСД, АВ=4, АД=6, уголА=60, будем считать что диагональ АД1=10 (если диагональ другой грани то результаты будут другие),

треугольник АД1Д прямоугольный, Д1Д-высота параллелепипеда=корень(АД1 в квадрате-АД в квадрате)=корень(100-36)=8, боковая поверхность=периметрАВСД*Д1Д=2*(4+6)*8=160

площадь основания АВСД=АД*АВ*sin60=4*6*корень3/2=12*корень3

полная площадь=2*площадь основания+площадь боковая=2*12*корень3+160=8*(3*корень3+20)