Через центр вписанной в треугольник АБС окружности проведена прямая РК, параллельная стороне АС (Р принадлежит АБ, К принадлежит БС Докажите, что РК = АР+КС ​

Центр вписанной окружности (I) - точка пересечения биссектрис.

AI - биссектриса, PAI=CAI

PIA=CAI (накрест лежащие при PK||AC)

PAI=PIA => △API - равнобедренный, PA=PI

Аналогично KC=KI

PK =PI+KI =PA+KC

Пусть  основание прямоугольного параллелепипеда прямоугольник ABCD . 
AB=CB =x ; BC=AD =7x ;AB₁ =BA₁ =CD₁=DC₁=13 см ;AD₁ =DA₁ =BC₁=CB₁ =37 см.
обозн._ высота параллелепипеда AA₁ =BB₁ =CC₁ =DD₁ =h.

Sбок - ? 

S бок  =2(AB+BC)*AA₁ = 2(x+7x)*h =16xh.
По теореме Пифагора для  треугольников ABB₁ и ADD₁:
{ AB²+BB₁² =AB₁² ;  AD² +DD₁²=AD₁². 
{ x²+h² =13² ;  (7x)² +h²=37². 
Вычитаем из второго уравнения  системы  первое
 (7x)² -x² =37² -13²;
48x² =(37-13)(37+13) ;
2*24x² =24*2*25⇒x =5 ;
h =√(13² -5²) =12.
S бок  =16xh =16*5*12 =16*60 =960 (см²).

ответ: 960 см².

1) из того, что вд - медиана, - равенство площадей треугольников авд и свд.

2) из равенства площадей - равенство сторон ав и вс.

3) из равенства сторон - вд - не только медиана треугольника авс, но и биссектриса (угол авд = углу свд) и высота (вд перпендикулярна ас).

4) из перпендикулярности вд к ас треугольник авд - прямоугольный.

5) из отношения 1: 2 катета вд к гипотенузе ав - угол а=30 градусов.

6) из суммы углов треугольника = 180 градусов - угол авд = 60 градусов.

7) из 3) угол свд = 60 градусов.

8) найти угол fвс.

9) сравнить угол fвс с углом свд.

10) сделать вывод.

успеха!