Дан куб A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 с ребром 1 дм. Найти периметр четырехугольника AB1, C1, D

Отрежем от ромба его диагональю треугольник. Если ромб был АВСД, то берём треугольник АВС. Он равнобедренный, т.к. АВ=ВС. Значит отрезок, соединяющий середины сторон АВ и ВС является средней линией равнобедренного треугольника, а значит этот отрезок параллелен основанию АС.
Аналогично повторяем рассуждения для треугольника AДС, и понимаем, что отрезок, соединяющий середины сторон АД и ДС есть средняя линия, значит он параллелен АС.
Итак, имеем, что обе средние линии - треугольников АВС и АДС параллельны диагонали ромба АС, следовательно они параллельны друг другу.

Повторяем те же рассуждения для второй диагонали ромба - ВД, и так же получаем параллельность второй пары отрезков.

Следовательно, четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон ромба, является параллелограммом. 

Далее, из симметрии ромба, замечаем, что обе диагонали этого получившегося четырёхугольника проходят через центр ромба, и равны между собой.

Параллелограмм, у которого диагонали равны - это и есть прямоугольник - что и требовалось доказать.

Ну, я бы так доказывал. Может кто-нибудь предложит более простой

Сто­ро­ны AC, AB, BC тре­уголь­ни­ка ABC равны 3 √2,√13 и 1 со­от­вет­ствен­но. Точка K рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка ABC, причём от­ре­зок KС пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке, от­лич­ной от B. Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми K, A и C по­до­бен ис­ход­но­му.
Най­ди­те ко­си­нус угла AKC, если ∠KAC>90°
---------
 Треугольник АВС тупоугольный (АС²>АВ²+ВС²); против большего угла лежит большая сторона.  
АС-большая сторона.⇒∠ В>90º.  
Т.к. по условию ∠ КАС>90º, а ∆ АКС ~ ∆ АВС, ∠КАС=∠В.  
Тогда, поскольку треугольники подобны,  
∠ КАС >90º, КС -  большая сторона ∆ АКС.   
∠АКС=∠ВСА  
По т.косинусов  
  АВ²=АС²+ВС² -2 АС*ВС*cos∠ACB ⇒  
  cos∠ACB=(АВ²-АС²-ВС²)/( -2АС*ВС)  
 cos∠ACB=6/(-6√2)=1/√2=(√2)/2⇒  
  cos∠АКС=(√2)/2 - это косинус угла=45º