AK - биссектриса угла А прямоугольника ABCD, K € BC. найдите периметр прямоугольника, если CD=8 см, KC=3 см​

(8+3)×2=22

Площадь прямоугольника 22см

Вроде так.

№2. DABC – тетраэдр. М - середина АD. МК||(АВС). МК=3 см. Найдите длину ребра DC этого тетраэдра.

  Тетраэдр — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, т.е. треугольная пирамида. В условии не указаны длины ребер DABC. Поэтому решение даётся для правильного тетраэдра, все ребра  которого равны.  

 МК||(АВС). МК лежит в плоскости ∆ АDC. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. ⇒ МК║АВ. Так как М – середина АD, а МК||АВ, то МК - средняя линия ∆ АDB и равна половине АВ ⇒ AD=АВ=2•МК=6 см.    

                                                   *   *   *

№3.  ОАВ - прямоугольный треугольник (∠В=90°), ∠ АОВ=60°, АО=8 см, OF⊥АОВ). Найдите расстояние от точки D до прямой АВ, если OF=3 см.

 Расстоянием от точки до прямой является длина отрезка, проведенного из данной точки  перпендикулярно данной прямой.  Треугольник АОВ прямоугольный, ОВ⊥ВА и является проекцией наклонной FB. По т. о 3-х перпендикулярах FB⊥АВ, поэтому является искомым расстоянием.

FО перпендикулярна плоскости ∆ АОВ. Если прямая, пересекающая плоскость,  перпендикулярна этой плоскости, то она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости. ⇒  Треугольник FOB прямоугольный. FO=3 см (дано). ОВ=АО•cos60°=4см. В ∆ FOB по т.Пифагора  FВ=√(FO²+OB²)=√(9+16)=5 см

На чертеже все обозначения и дополнительные построения. Я пронумеровал окружности, чтобы не писать каждый раз "окружность, описанная вокруг..."
1) Точка K соединяется с B и C, точка L - с A и D;
BC II AD => ∠BDA = ∠DBC;
∠CKO = ∠CBO; как вписанные в окружность 3;
∠ALO = ∠ADO; как вписанные в окружность 4;
=> ∠ALK = ∠ CKL
(это тот же угол, что и ∠CKO, я сразу предупреждаю, что надо внимательно следить за тем, какие объекты соответствуют обозначениям)
=> KC II LA; совершенно аналогично через пару углов ∠OAD = ∠OCB; и равные им углы ∠KLC и ∠BKL доказывается KB II LD;
2) Если продлить KB, KC, LD и LA (если нужно, тут возможны варианты, в случае, изображенном на чертеже, продлевать LA не нужно) до взаимного пересечения, то получится параллелограмм KNLP;
Точка N лежит на окружности 1, потому что
∠ANB = ∠ALD (так как KN II LD)
а ∠BOA = 180° - ∠AOD = (поскольку четырехугольник AOLD вписан в окружность 4) = 180° - (180° - ∠ALD) = ∠ALD;
То есть хорда AB окружности 1 видна из точек O и N под одинаковым углом. Поэтому они лежат на одной окружности 1.
По пути я доказал, что ∠BOD = ∠COD = ∠ALD (все эти углы составляют 180° в сумме с ∠AOD); Поскольку ∠KPL + ∠ALD = 180° (так как KP II LA), то четырехугольник CODP вписан в окружность 2, и точка P лежит на ней.
3) Теперь я проведу из точки N прямую NM до пересечения с окружностью 2 в точке P1. (Её нет на чертеже, и сейчас станет ясно, почему.)
∠ANM = 180° - ∠AOM = ∠MOC = 180° - ∠CP1M; то есть AN II CP1; поскольку через точку C можно провести только одну прямую, параллельную AN, точка P1 совпадает с P.
4) Таким образом, доказано, что диагональ NP параллелограмма KNLP проходит через вторую общую точку окружностей 1 и 2, то есть через точку M.
Разумеется, M - середина второй диагонали KL (точка пересечения диагоналей параллелограмма), что требовалось доказать, и одновременно - середина NP.