Пусть точки А, B, C, D вершины пирамиды. А(1;5;9), B(-2;-6;-10); C(2;3;-5), D(1;2;-6) 1) Найдите уравнение ребра АВ; 2) Найдите уравнение плоскости, проходящее через грань АВС; 3) Найдите уравнение высоты, опущенное с вершины D на грань АВС; 4) Найдите уравнение прямой СN параллельной прямой АВ; 5) Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку D, перпендикулярно прямой АВ.

Объяснение:

..................................

здесь можно использовать тот факт, что смежный к углу в 120 градусов угол = 60 градусов

продолжим сторону АВ и опустим из А1 _|_ на АВ (обозначим точку М)

также построим перпендикуляры из А1 к стороне АС (АС2) и биссектрисе ВВ1 (АВ2):

А1М _|_ АВ, А1С2 _|_ АС, А1В2 _|_ ВВ1

точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла (верно и обратное утверждение: равноудаленная от сторон угла точка лежит на биссектрисе этого угла).

А1 по построению лежит на биссектрисе угла САВ => А1М=А1С2

т.к. смежный к углу АВС угол СВМ = 60 градусов = СВВ1=В1ВА, то А1В ---биссектриса угла МВВ1 => А1М = А1В2 = А1С2

а теперь из равенства А1В2 = А1С2 делаем вывод, что А1В1 будет биссектрисой угла СВ1В

т.е. углы СВ1А1 = А1В1В равны.

аналогичные построения и рассуждения докажут, что В1С1 ---биссектриса угла ВВ1А (здесь продолжить сторону СВ, угол смежный с СВА ---АВК=60 градусов... и опускать перпендикуляры из С1 на АС, СВ, ВВ1)

итак, получили равенство углов: СВ1А1 = А1В1В и ВВ1С1 = С1В1А

развернутый угол СВ1А = 180 = СВ1А1+А1В1В+ВВ1С1+С1В1А = 2*А1В1В + 2*ВВ1С1 = 

2*(А1В1В + ВВ1С1) = 2*А1В1С1 =>

А1В1С1 = 180/2 = 90 градусов

 

Чертим параллелограмм с острым углом слева внизу, а с большими сторонами горизонтально. 
Обозначаем вершины начиная с нижней левой по часовой стрелке A,B,C,D. Обозначим АВ=CD=4X, BC=AD=9X. 
Пусть дана биссектриса угла A. Она пересекает сторону ВС в точке Е. Проводим EF параллельно АВ. ABCD -ромб, АЕ его диагональ. Тогда: 
AB=BE=EF=AF=CD=4X, EC=FD=9X-4X=5X. 
Пусть АЕ=Y. 
Периметр треугольника AB+BE+AE=4X+4X+Y 
Периметр оставшейся части AE+EC+CD+AD=Y+5X+4X+9X 
Разность периметров (Y+18X)-(Y+8X)=10X. 
10X=10, X=1. 
Периметр параллелограмма 2*(4X+9X)=26X=26.
Вроде так.