Радіус кола, описаного навколо трикутника abc, дорівнює 6 см. знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника aoc, де o - точка перетину бісектрис трикутника abc, якщо ∠abc=60°

Ну, тут есть много способов доказать. то, что медианы пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2/1, считая от вершины, доказывается самостоятельно, и это можно использовать. дальше, если у двух треугольников общая высота и равные стороны, к которым эта высота проведена, то их площади равны. поэтому из 6 треугольников попарно имеют равные площади те треугольники, у которых стороны вместе образуют сторону исходного треугольника.  формально это выглядит так.  треугольник abc, a1 - середина bc, b1 - середина ac, c1 - середина ab, медианы aa1, bb1, cc1 пересекаются в точке g. можно записать, что у нас есть два треугольника площадью  s1 (прилегающих к стороне ab - ac1m и bc1m имеют общую высоту - расстояние от m до ab, и равные стороны ac1 и bc1)  , два - площадью  s2 (ba1m и  ca1m), и два площадью  s3 (ab1m и cb1m); так же равны площади треугольников abb1 и cbb1 (точно так же - ab1 = b1c, высота общая, расстояние от b до ac). отсюда 2*s1 + s3 = 2*s2 + s3; то есть s1 = s2; точно так же из равенства площадей acc1 и bcc1  2*s3 + s1 = 2*s2 + s1;   s3 = s2; всё доказано. равенство площадей можно увидеть "непосредственно". к примеру, расстояние от точки m до bc в 3 раза меньше расстояния от точки a до bc. это легко показать, если провести соответствующие перпендикуляры и  вспомнить, что ma1/aa1 = 1/3; из подобия треугольников такое же отношение будет и у высот треугольников  abc и amc. у этих треугольников общая сторона ac, а высота amc к этой стороне  в 3 раза меньше, значит, и площадь в 3 раза меньше.  а медиана ma1 делит amc еще на два равных по  площади треугольника - у них общая вершина напротив равных сторон, то есть общая высота к равным сторонам. это всё.

Обозначим половину угла мрн как (р) -- для аналогично -- половину угла нмр как ( мрн = 2р нмр = 2м пусть " прямые,содержащие биссектрисы ма и рв треугольника мнр" пересекаются в точке ов получившемся треугольнике угол при вершине о  мор = 98 (или вариант = 82) градусовтогда м+р = 82 (или вариант = 98) градусов угол треугольника равен сумме двух  углов треугольника, не смежных с    рнм = 180 - 2*(р+м) = 180 - 2*(82) = 180 - 164 = 16 градусовили вариант  рнм = 180 - 2*(р+м) = 180 - 2*(98) = 180 - 196 = -16 -- не  ! получается, что угол мор не может быть острым он всегда будет иначе треугольник не и величина угла рнм без