Точка удалена от вершин правильного треугольника на 5см и расположена на расстоянии 4см от плоскости треугольника, найти периметр треугольника.

точка а находится на одинаковом расстоянии от всех вершин равностороннего треугольника, => точка а проектируется в центр правильного треугольника.

найти длину перпендикуляра н.

центр правильного треугольника - точка пересечения медиан, высот, биссектрис, в которой они делятся в отношении 2: 3, считая от вершины. 

высота h  правильного треугольника вычисляется по формуле: h=a√3/2.

h=(4√3)*√3/2, h=6 см.

рассмотрим прямоугольный треугольник: катет - высота н, катет -  (2/3)h=4 см, гипотенуза - расстояние от точки а до вершин треугольника =5 см.

по теореме пифагора: 5²=н²+4². н=3 см

ответ: расстояние от точки а до плоскости треугольника 3 см

Пирамида правильная, значит в основании лежит правильный треугольник. в правильном треугольнике высоты, как и медианы, в точке пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины. найдем по пифагору он из треугольника soh: он=√(sh²-so²) или он=√(8²-4²)=4√3. это 1/3 высоты треугольника. значит высота треугольника - основания равна 12√3. сторону правильного треугольника найдем из формулы для высоты: h= √3*a/2, то есть а=2h/√3=24√3/√3=24. площадь основания равна: s=√3*a²/4 или s=√3*576/4=144√3. объем пирамиды равен v=(1/3)*s*h или v=(1/3)*144√3*4=192√3 см². ответ: v=192√3 см².

на построение, возможно, самые древние .  кому-то они сейчас могут показаться не интересными и нужными, какими-то надуманными. и в самом деле, где и зачем может понадобиться умение с циркуля и линейки построить правильный семнадцатиугольник или треугольник по трем высотам, или даже просто сделать построение параллельной прямой. современные технические устройства сделают все эти построения и быстрее, и точнее, чем любой человек, а заодно смогут выполнить и такие построения, которые просто невозможно выполнить при циркуля и линейки.

и все же без на построение перестала бы быть . построения являются весьма существенным элементом изучения .

в чем же особенность этих ? на построение не просты.  не существует единого алгоритма для решения всех таких .  каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения.  именно поэтому научиться    решать на построение чрезвычайно трудно, а, порой, практически невозможно.  но эти уникальный материал для индивидуального творческого поиска путей решения с своей интуиции и подсознания.