АBCDA1B1C1D1-куб : Q и Р- середины DD1 и AD coответственно; М и N-середины В1А1 и ВB1 соответственно. Выясните взаимное расположение прямых: 1)QP и AD1 2)AD1 и А1Р; 3)MN и AD1; 4) CD и А1Р​

Заметим,что <OBF=180°-75°-65°=40° (так как смежные стороны параллелограмма в сумме равны 180°).
Проведем через точку О прямые  EG и FH параллельно сторонам параллелограмма АВ и ВС соответственно.
Треугольники АОН и СOG подобны по двум углам. Из подобия
АН/CG=OH/OG или ВF/OF=DG/OG (так как BF=AH, OF=CG и DG=OH как противоположные стороны параллелограммов).
Но тогда треугольник ОВF подобен треугольнику ODG по второму признаку подобия, так как <BFO=<OGD (углы с соответственно параллельными сторонами), а стороны, образующие этот угол, пропорциональны (ВF/OF=DG/OG - доказано выше). Из подобия имеем: <ODG=<OBF=40°.
ответ: <ODC=40°.

Достроим треугольник А1ВС до параллелограмма А1ВСК, т.к. С1 проецируется на его плоскость вне ∆ А1ВС

А1К параллельна и равна ВС и В1С1 ⇒ 

А1В1С1К - параллелограмм, А1С1 в нем диагональ; 

треугольник А1С1К равнобедренный,  А1М=КМ=3.  С1М его высота.  и равна 4 ( ∆ КМС1 - египетский, можно проверить по т.Пифагора).

По т.Пифагора СА1=√(СС1²+AC²)=√(9+25)=√34

 Так как грани АВВ1А1 и АСС1А1 равны, то А1С=А1В=СК=√34 

CM=√(CK²-MK*)=√(34-9)=5

Призма прямая, все ребра перпендикулярны основаниям, ⇒

СС1 перпендикулярен С1М, и ∆ МС1С прямоугольный, его плоскость перпендикулярна плоскости А1КСВ.

Высота С1Н⊥МС ⇒перпендикулярна плоскости А1КСВ и является искомым расстоянием от точки С1 до плоскости А1ВС.

 C1H=2S(CMC1):MC

2S (CМС1)=СС1•MC1=3•4=12

C1H=12/5