Дан правельный сетырехугольник ABSD со стороной равной 2найдите длину вектора AB

Отрежем от ромба его диагональю треугольник. Если ромб был АВСД, то берём треугольник АВС. Он равнобедренный, т.к. АВ=ВС. Значит отрезок, соединяющий середины сторон АВ и ВС является средней линией равнобедренного треугольника, а значит этот отрезок параллелен основанию АС.
Аналогично повторяем рассуждения для треугольника AДС, и понимаем, что отрезок, соединяющий середины сторон АД и ДС есть средняя линия, значит он параллелен АС.
Итак, имеем, что обе средние линии - треугольников АВС и АДС параллельны диагонали ромба АС, следовательно они параллельны друг другу.

Повторяем те же рассуждения для второй диагонали ромба - ВД, и так же получаем параллельность второй пары отрезков.

Следовательно, четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон ромба, является параллелограммом. 

Далее, из симметрии ромба, замечаем, что обе диагонали этого получившегося четырёхугольника проходят через центр ромба, и равны между собой.

Параллелограмм, у которого диагонали равны - это и есть прямоугольник - что и требовалось доказать.

Ну, я бы так доказывал. Может кто-нибудь предложит более простой

Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым. Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма). Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника. Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника. Следствие из теоремы: для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — парал.