Дана правильная четырёх угольная пирамида с длинной диагонали основания равной 10 см и длиннами боковых рёбер 12 см. найти площадь данной поверхшости обём пирамиды и площадь диагонального сечения.

1) работаем с формулами:

    s полн = 2πr² + 2πrh   = 500π

    s бок = 2πrh = 300π,тогда  πrh = 150π 

                  2πr² = 200 π 

                      r² = 100

                      r   =   10 

2)   v = sосн·h = πr²h =  πrh·r =150π·10=1500π (cм³)  .

ответ: 1500 π см³. 

в равностороннем треугольнике все просто. сначала находим высоту из точки в, она равна 13*корень(3)/2. по идее уже тут можно воспользоваться тем, что высота - одновременно и медиана, то есть найти её (высоту-медиану) из прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 и одним из катетов 13/2. второй катет (то есть высота-медиана) будет как раз  13*корень(3)/2 (теорема пифагора :

а теперь вспоминаем, что точка о лежит на этой медиане-высоте на расстоянии 2/3 её длины, считая от вершины.

то есть ов = (13*корень(3)/2)*(2/3) =  13*корень(3)/3.