1. В трапеции ABCD AD — большее основание. Через вершину В прове- дена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону ADв точке Е, ВС = 7 cm, AE = 4 cm. Найдите: 1) среднюю линию трапе-ции; 2) периметр трапеции, если PABE = 17 cm.​

Средняя линия =9 см

P(ABCD)=31 см

Объяснение:

Поскольку ВЕ ║ CD ( по условию, а BC║ED ( так как BC и AD - основания трапеции), то BCDE - параллелограмм.

Тогда   ED=BC=7 cm  

Тогда AD= ED+AE=7+4=11 cm

Находим среднюю линию трапеции MN

MN= (AD+BC)/2=(11+7)/2=9 cm

Средняя линия равна 9 см

2) Рассмотрим треугольник АВЕ

ВЕ=CD ( так как BCDE - параллелограмм).

Тогда периметр трапеции ABCD  равен

P (ABCD)= AB+BC+CD+ED+AE= AB+CD+AE+7+7=

= AB+BE+AE+14

Но поусловию задачи  AB+BE+AE= Р(АВЕ)=17 см

Тогда P(ABCD)=17+14=31 см

Дано:                                                      Решение:
ВЕ = 0,5АВ
АС = 12 дм            См. рис.  Так как АВС - равнобедренный, то: АЕ = ЕС = 6 дм
------------------                           Так как ВЕ = 0,5АВ, то:  
Найти: АВ - ?                          АВ² = ВЕ²+АЕ² = 0,25АВ² + 6² 
                                                  АВ² - 0,25АВ² = 36
                                                  0,75AB² = 36
                                                  AB = √48
                                                  AB = 4√3 (дм)

Проверим:
                   (4√3)² = (2√3)²+6²
                         48 = 12+36
                         48 = 48           

ответ: 4√3 дм

В прямоугольном треугольнике гипотенуза BC равна 20, катет AB равен 16. Найдите квадрат расстояния от вершины A до биссектрисы угла C.

Расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром, проведенным от этой точки до прямой.
Сделаем рисунок. 
Пусть биссектриса угла С будет СК.
Биссектриса треугольника (любого) делит противоположную сторону в 
отношении длин прилежащих сторон.
⇒ АК:КВ=АС:ВС=12:20=3/5
⇒АК=АВ:(3+5)*3
АК=6
Рассмотрим ⊿КАС
КС - гипотенуза 
КС=√(АК²+АС²)=√180=6√5
АН можно найти из ⊿АНК.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное
 между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом высотой
АК²=КН*КС
36=КН*6√5
КН=36:6√5=6:√5
АН²=АК²-КН²
АН²=36-(36:5)=144/5=28,8
ответ: квадрат расстояния от вершины A до биссектрисы угла C равен 28,8