На сторонах ВС и СD квадрата АВСD взяли 24 точки М и К так, что угол КАМ равен 40°, а угол АКМ равен 70°. Найдите угол АМВ.

ответ: 65°

Объяснение:

очевидно, что уголАМК=70° (треугольник АМК -равнобедренный);

следовательно, прямоугольные треугольники АВМ и АDК равны по гипотенузе (АМ=АК) и катету (АВ=АD);

из этого следует, что ВМ=DК и следовательно СМ=СК,

т.е. прямоугольный треугольник СМК -равнобедренный и уголСМК=45°...

и тогда уголВМА=180°-70°-45°=65°...

или так: из равенства треугольников АВМ и АDК следует: уголМАВ = уголКАD = (90°-40°)/2 = 25°

и т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то уголАМВ=90°-25°=65°

На мой взгляд самый быстрый построить угол 30 градусов с линейки и циркуля состоит в следующем:

проводим горизонтальную линию, ставим на нее в произвольной точке циркуль и проводим окружность. В точке, где окружность пересекла линию (например справа) опять ставим циркуль и проводим еще одну такую же окружность. Проводим линию через центр первой окружности и точку пересечения окружностей (красная линия) и проводим линию через точки пересечения окружностей (зеленая линия). Острый угол между красной и зеленой линиями равен 30 градусам.

Рассмотрим треугольник АМВ. Он равнобедренный по условию (ВМ=АМ). Значит, углы при его основании АВ равны.
<MBA=<MAB.
Рассмотрим треугольник ВМС. Здесь <MBC=<ABC-<MBA=60-<MBA (углы равностороннего треугольника равны по 60 градусов).
Рассмотрим треугольник АМС. Здесь <MAC=<BAC-<MAB=60-<MAB.
Но <MBA=<MAB как показано выше, значит
<MBC=<MAC. 
Тогда треугольники ВМС и АМС равны по двум сторонам и углу между ними:
- ВС=АС, т.к. АВС - равносторонний треугольник;
- ВМ=АМ по условию;
- соответственные углы МВС и МАС равны как показано выше. 
В равных треугольниках ВМС и АМС равны соответственные углы МСВ и МСА, т.е. СМ - биссектриса угла АСВ.