Задание 1 Используя чертеж, найдите:​

Для начала, нам необходимо составить систему уравнений, чтобы найти точку пересечения прямых. Система уравнений будет выглядеть следующим образом:
1 + 4t = -2 + p
-1 = 2p
1 - 3t = 3 - 2p

Давайте решим эту систему пошагово:
1) Из второго уравнения получаем значение p:
-1 = 2p
Разделим обе части уравнения на 2:
-1/2 = p

2) Подставим найденное значение p в первое и третье уравнения системы:
1 + 4t = -2 + (-1/2)
1 + 4t = -2 - 1/2
1 + 4t = -5/2

Упростим уравнение, вычтя 1 с обоих сторон:
4t = -5/2 - 1
4t = -5/2 - 2/2
4t = -7/2

Разделим обе части уравнения на 4:
t = -7/8

3) Теперь подставим полученное значение t во второе уравнение системы:
-1 = 2p
-1 = 2 * (-7/8)
-1 = -7/4

Теперь мы получили значения переменных p и t, которые являются координатами точки пересечения прямых.
Теперь, чтобы найти угол между этими прямыми, мы можем использовать формулу:

cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| |BC|),

где AB и BC - векторы, соединяющие точки A и B, и B и C соответственно.

Для начала, найдем векторы AB и BC.
AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
BC = (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2)

A(x1, y1, z1) = (1, -1, 1)
B(x2, y2, z2) = (1 + 4t, -1, 1 - 3t)
C(x3, y3, z3) = (-2, 2p, 3 - 2p)

Теперь подставим значения p и t, которые мы получили ранее:
A = (1, -1, 1)
B = (1 + 4*(-7/8), -1, 1 - 3*(-7/8))
C = (-2, 2*(-7/4), 3 - 2*(-7/4))

Упростим координаты точек:
A = (1, -1, 1)
B = (-5/8, -1, 11/8)
C = (-2, -7/2, 23/4)

Теперь найдём векторы AB и BC:
AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (-5/8 - 1, -1 - (-1), 11/8 - 1)
AB = (-13/8, 0, 3/8)

BC = (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2) = (-2 - (-5/8), -7/2 - (-1), 23/4 - 11/8)
BC = (-11/8, -3/2, 13/8)

Теперь найдём модули этих векторов:
|AB| = sqrt((-13/8)^2 + 0^2 + (3/8)^2)
|AB| = sqrt(169/64)
|AB| = 13/8

|BC| = sqrt((-11/8)^2 + (-3/2)^2 + (13/8)^2)
|BC| = sqrt(121/64 + 9/4 + 169/64)
|BC| = sqrt(299/64)
|BC| = sqrt(299)/8

Теперь найдём скалярное произведение векторов AB и BC:
(AB · BC) = (-13/8 * -11/8) + (0 * -3/2) + (3/8 * 13/8)
(AB · BC) = (143/64) + (0) + (39/64)
(AB · BC) = 182/64
(AB · BC) = 91/32

Теперь можем подставить соответствующие значения в формулу:
cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| |BC|)
cos(θ) = (91/32) / ((13/8) * (sqrt(299)/8))
cos(θ) = (91/32) / ((13 * sqrt(299)) / 64)
cos(θ) = (91/32) * (64 / (13 * sqrt(299)))
cos(θ) = (91 * 64) / (32 * 13 * sqrt(299))
cos(θ) = 5824 / (416 * sqrt(299))
cos(θ) = 5824 / (416 * sqrt(299))

Мы получили значение косинуса угла между прямыми. Чтобы найти сам угол, нам необходимо взять арккосинус полученного значения:

θ = arccos(5824 / (416 * sqrt(299)))

Вычисления этого значения требуют дополнительных усилий, но основной шаг заключается в нахождении косинуса угла между прямыми.

1) Номера верных утверждений:
- Утверждение №1: ТМ-медиана треугольника NFT.
- Утверждение №3: TM- высота треугольника NFT.
- Утверждение №5: TM-биссектриса треугольника NFT.

Обоснование:
- В треугольнике NFT медиана проходит из вершины N через середину стороны FT. Поэтому утверждение №1 верно.
- Высота треугольника опускается из вершины треугольника к основанию, перпендикулярно основанию. TM проходит из вершины N и перпендикулярна стороне FT. Поэтому утверждение №3 верно.
- Биссектриса треугольника делит угол на две равные части. ТМ делит угол NFT на две равные части, поэтому утверждение №5 верно.

2) Угол HCA равен 70 градусам.

Обоснование:
- По заданию 2, нужно найти угол HCA.
- Из изображения видно, что угол CFD является прямым углом, так как сторона CD является высотой треугольника.
- Также известно, что угол HCF является прямым углом, так как сторона CF является биссектрисой треугольника.
- Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
- Подставляя известные значения, получаем:
(угол FCD + угол CFD + угол HCF) = 180 градусов
(90 градусов + угол FCD + 90 градусов) = 180 градусов
угол FCD = 180 градусов - 90 градусов - 90 градусов
угол FCD = 0 градусов
- Так как BC || FD, углы BCF и FCD равны.
- Значит, угол BCF также равен 0 градусам.
- По свойству углов при пересечении прямых, угол HCA равен сумме углов FCD и BCF, то есть 0 градусов + 0 градусов = 0 градусов.
- Значит, угол HCA равен 0 градусов.

3) P = FD + CD + CF

Обоснование:
- Известно, что P - это периметр треугольника.
- Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.
- В данном случае, треугольник FCD имеет стороны FD, CD и CF.
- Суммируя длины этих сторон, получаем периметр P = FD + CD + CF.

4) Основание равнобедренного треугольника равно 13см.

Обоснование:
- По заданию 4, известно, что боковая сторона равнобедренного треугольника на 3 см меньше основания.
- Периметр треугольника равен 30 см.
- Периметр равнобедренного треугольника равен сумме длин сторон треугольника.
- Основание треугольника обозначим как x, а боковую сторону как (x-3).
- Поэтому, уравнение периметра равнобедренного треугольника будет выглядеть следующим образом: x + (x-3) + (x-3) = 30.
- Суммируя и упрощая уравнение, получаем: 3x - 6 = 30.
- Добавляя 6 и деля на 3, получаем: 3x = 36.
- Деля на 3, получаем: x = 12.
- Значит, основание равнобедренного треугольника равно 12 см.

5) Биссектрисы АК и А1К1 равны.

Обоснование:
- Известно, что треугольник АМК и треугольник А1М1К1 - равнобедренные треугольники с основаниями АМ и А1М1.
- Из утверждения "Треугольники равнобедренные с основаниями АМ и А1М1", следует, что стороны АМ и А1М1 равны.
- Известно также, что стороны МК и М1К1 равны.
- Рассмотрим биссектрисы АК и А1К1.
- Биссектриса треугольника делит угол на две равные части.
- Известно, что угол МКА равен углу М1К1А1, так как треугольники равнобедренные соответственно.
- А значит, биссектрисы АК и А1К1 делят соответствующие углы на две равные части.
- Поэтому, биссектрисы АК и А1К1 равны.