Две стороны треугольника равны 4 см и 8 см, а уголмежду ними - 60°. Найдите третью сторону и площад - Kozlovao4

Геометрия

Ответить

Ответы

lk1303

26.12.2021

Дано:

ABCDA_1B_1C_1D_1 - Правильная усеченная пирамида

AA_1=8cm (ребро)

$A_1C=4\sqrt{5}$ (диагональ)

Найти: AB-?

1) Проведём две высоты к плоскости ABCD из вершин A_1 и C_1 И отметим их как и H_1 соответственно.

2)Рассмотрим полученный треугольник AHA_1 ; По чертежу видно, что этот треугольник прямоугольный и один из его острых углов равен 60 градусов, что означает что второй его угол равен 30 градусам, следовательно если нам известна AA_1 , то можно и найти

$AH=\frac{1}{2}AA_1=\frac{8}{2}=4$ (Против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы).

3)Поскольку пирамида правильная, то высоты, которые были проведены в 1 пункте делят диагональ квадрата ABCD на 3 отрезка, причем AH=H_1C=4

4) Используя правило прямоугольного треугольника, при двух его известных сторонах и углу, можно найти другую сторону этого треугольника: $A_1H=AA_1*Sin60=8*\frac{\sqrt{3} }{2}=4\sqrt{3}$

5)Следует детально рассмотреть треугольник CHA_1 В нем известны две стороны, и он прямоугольный, а значит можно найти по теореме Пифагора. $CH=\sqrt{A_1C^{2} -A_1H_2} =\sqrt{ 80-48}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ .

6)Отсюда можно найти .

$AC=4+4\sqrt{2}$ . Знаю эту величину можем найти искомую АB.

Поскольку в основании правильной усеченной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. $AB=\sqrt{AC^{2} -BC^{2} }$ ; Но также стоит заметить, что $AB\sqrt{2}=AC$ , но второй намного легче, чем мучиться с преобразованием корневых выражений. $AB\sqrt{2}=4+4\sqrt{2} \\AB=\frac{4(1+\sqrt{2} )}{\sqrt{2} } =\frac{4\sqrt{2}+ 8}{2} =2\sqrt{2}+4$