В треугольнике АВС (рис. 3) ВК – медиана и высота. Периметр треугольника АВС равен 30 см. Периметр треугольника АВК равен 24 см. Найти ВК.

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Вначале, давайте установим, что такое медиана и высота треугольника.

- Медиана - это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае ВК - медиана, поэтому VK является отрезком, соединяющим вершину В с серединой стороны AC.
- Высота - это отрезок, который проведен из вершины треугольника и перпендикулярен стороне, на которую он опущен. В данном случае VK является и высотой, проведенной из вершины В и перпендикулярной стороне AC.

2. Далее, по условию, периметр треугольника ABC равен 30 см, а периметр треугольника ABK равен 24 см.

- Периметр треугольника ABK можно выразить через стороны треугольника ABK: AB + BK + AK. В данной задаче неизвестными размерами являются стороны AB и AK.
- Также, в задаче дано, что VK является и медианой, и высотой. Это означает, что VK делит медиану и высоту на две равные части. Пусть эти части равны х см каждая.

3. Перейдем к решению задачи.

- Размер VK мы обозначили как х см, а размеры AM и MC (частей медианы, на которые VK делит) также равны х см. Теперь мы можем выразить отрезки AK и BK через эти размеры. Так, AM = MC = VK = х см.
- Общий размер медианы равен сумме ее двух равных частей, поэтому AC = 2х см.
- Также, поскольку VK является высотой, мы можем заметить, что образовавшийся прямоугольный треугольник ABV имеет стороны VK и AK равными х см, а сторону AV равной ВА - х. Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора для нахождения стороны AB.
Итак, по теореме Пифагора: AB^2 = AK^2 + VK^2.
- Заменяем AK и VK на х:
AB^2 = х^2 + х^2
AB^2 = 2х^2
AB = √(2х^2) = √2х

4. Известен периметр треугольника ABC, который равен 30 см. Выразим стороны AB и AC через VK и х.
- Периметр треугольника ABK равен 24 см, поэтому AB + BK + AK = 24.
- Теперь, заменив AK и BK на размеры VK и х, получим: √2х + √2х + х = 24.
- Объединим подобные слагаемые: 2√2х + х = 24.

5. Приведем уравнение к более простому виду и решим его.
- Сначала вынесем общий множитель х: х + 2√2х = 24.
- Упростим уравнение: х(1 + 2√2) = 24.
- Разделим обе части на коэффициент при х: х = 24 / (1 + 2√2).
- Остается только посчитать выражение и получить ответ.

Таким образом, мы получили уравнение для нахождения размера VK и решили его. Чтобы получить окончательный ответ, подставьте вместо VK значение х и вычислите его.