Прямоугольный треугольник MNL ( угол MLN = 90°) вписан в окружность. Отрезок NQ перпендикулярен плоскости MNL. Докажите, что угол MLQ = 90°.

Для доказательства того, что угол MLQ равен 90°, мы воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и окружности.

Шаг 1: Установим основные факты о прямоугольном треугольнике MNL и окружности.

- У прямоугольного треугольника один из углов равен 90°, таким образом, угол MLN равен 90°.
- Окружность называется вписанной в прямоугольный треугольник MNL, если каждая из трех сторон треугольника является касательной к окружности. В нашем случае, это означает, что отрезки MN, NL и LM являются касательными к окружности.

Шаг 2: Докажем, что отрезок NQ также является касательной к окружности.

Поскольку NQ перпендикулярен плоскости MNL, его можно представить как высоту прямоугольного треугольника MNL из вершины N. Высота, проведенная из вершины прямоугольного треугольника, проходящая через точку касания, всегда является касательной к окружности. Поэтому NQ также является касательной к окружности.

Шаг 3: Докажем, что угол MLQ равен 90°.

Поскольку NQ является касательной к окружности, а касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны по длине, мы можем сказать, что NL = NQ.

Взглянем на треугольник MLQ. Угол MLQ является углом при основании треугольника, и мы уже знаем, что основание равно NL (т.к. NL = NQ).

У нас есть две равные стороны треугольника MLQ: ML и MQ (т.к. они являются радиусами окружности, касающейся этих сторон). Поэтому треугольник MLQ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике основание угла при вершине равно длине медианы, проведенной из вершины. Медиана, проведенная из вершины треугольника и перпендикулярная основанию, делит угол при вершине пополам. Таким образом, угол MLQ равен половине угла при вершине треугольника MLN.

Угол MLN равен 90°, это означает, что половина угла равна 45°. Таким образом, угол MLQ также равен 45°.

Так как один из углов равен 90°, а угол MLQ = 45°, сумма углов треугольника MLQ будет равна 90°.

Мы доказали, что угол MLQ равен 90°, что и требовалось доказать.