1)Сумма ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 360 см, найдите площадь нижнего основания, если АА1: АВ : АD = 2 : 3 :4 2)В тетраэдре DABС: М – середина DC, К – середина АС, N- середина ВС.а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки: М, К и Nб) Найти периметр сечения, если DB= 8см, AD=6см, A=4смв) Докажите параллельность плоскостей (ADB) и (KNM)

Проведем АН - биссектрису угла А.  Тогда <AHC=180-2α (по сумме внутренних углов треугольника),  <AHВ=180-(180-2α) = 2α (как смежные углы). Отметим, что НМ - высота равнобедренного треугольника АНС. Проведем  КН параллельно АС.  

KH = DM, так как DKHM - прямоугольник. Тогда из треугольника ВКН:  

КН=ВН*Sin(90-α) = BH*Cosα. (так как <KHB=<C = α).  

Итак, DM= BH*Cosα.   В треугольнике АВН по теореме синусов:

BH/Sin(<BAH)=AB/Sin(<AHB). Или BH/Sinα=AB/Sin2α.  => AB=BH*Sin2α/Sinα.

Но по формуле двойного угла Sin2α = 2Sinα*Cosα  =>

АВ=BH*2Sinα*Cosα/Sinα = BH*2*Cosα.

DM/AB=BH*Cosα/BH*2*Cosα =1/2.  => DM=2AB, что и требовалось доказать.