Вписане в трикутник авс коло дотикається до його сторін у точках к, p, t (який на фото)доведіть, що: 1)ap+ck+bt=at+bk+cp2)bk=0, 5 (ab+bc-ac)

1. вс - малое основание. тр-ки вос и doe подобны, вс/во = de/do; вс = 12*3/9 = 4

2. вр - биссектриса, угол авр = угол свр, но угол свр = угол вра => тр-к авр равнобедренный, ав = вр = 10; аналогично dp = cd = 10; ad = 20;

периметр (10 + 20)*2 = 60; (интересно в этой простенькой то, что сторону вычислить можно, а углы - нет: подходит любой параллелограмм, у которого одна сторона в 2 раза больше другой).

3. пусть равнобедренная трапеция авсе, ае ii вс; вн - высота,

ве =  √65; bh = 4; he =  √(65 - 16) =  √49 = 7;  

при этом еа = (ае - вс)/2; поэтому не = ае - (ае -вс)/2 = (ае + вс)/2;

s = bh*(ае + вс)/2 = 4*7 = 28;

можно пристроить к кубу  abcda1b1c1d1 другой такой же куб следующим образом. продлим ребра а1а, в1в, с1с, d1d за точки а,в,с,d. на длину ребра куба и через полученные точки a2,b2,c2,d2 проведем плоскость ii авс. ясно, что я просто "приставил снизу" еще один куб, идентичный исходному. 

очевидно, что а2с ii ac1, поэтому угол между се и ас1 равен углу а2се.

замкнем треугольник а2се, проведя а2е в плоскости а2а1d1d2. 

в треугольнике а2се просто вычисляются все стороны.

a2c =  √3; (это - диагональ куба, ребро принимаем за единицу длины, то есть ребро куба 1).

из прямоугольного тр-ка а2еd2 с катетами a2d2 = 1; d2e = 3/2; находим

  а2е =  √(1^2+(3/2)^2) =  √13/2;

аналогично из треугольника dce

cе =  √(1 + (1/2)^2) =  √5/2;

обозначим косинус угла а2се как х. по теореме косинусов

13/4 = 3+5/4 - x*2*√(5*3)/2;

x = 1/√15 =  √15/15; это - косинус искомого угла.