Знайдіть відстань між центрами кіл, радіусів 2 см і 12 см, які дотикаються зовнішнім і внутрішнім .

Все решения так или иначе сведутся к "формуле медианы", которая вам так не нравится. Можно её попросту вывести.

Пусть AC = 11, BC = 23, AM = 10, M - середина AB.
Найдем AB.

Достроим треугольник до параллелограмма. Докажем, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов диагоналей.

Рассмотрим треугольник ACC1. Напишем в нем выражение по теореме косинусов:
CC'^2 = AC'^2 + AC^2 - 2AC*AC'*cos(CAC')
2AC * AC' * cos(CAC') = AC^2 + AC'^2 - CC'^2 = 121 + 529 - 400 = 250

Для треугольника ABC верны соотношения: CB = AC' = 23, ACB = 180° - CAC', тогда
2AC * CB * cos(ACB) = -2AC * AC' * cos(CAC') = -250
Теорема косинусов:
AB^2 = AC^2 + AB^2 - 2AC * CB * cos(ACB) = 529 + 121 + 250 = 900
AB = 30