Вариант 1 1. На рисунке 161 отрезки AB иCD имеют общую середину. Докажите, что треугольники AOC и BOD равны.2. Даны прямая и отрезок. По-стройте точку, такую, чтобы перпендикуляр, опущенный из этой точкипрямую, равнялся данному отрезку.3. В треугольнике ABC AB= BC. Намедиане BE отмечена точка M, а на сторонах AB и BC точки Р и К соответственно. (Точки P, M и к не лежат на одной прямой.) Известно, что угл BMP = углуВМК. Докажите, что:а) углы BPM и BKM равны;б) прямые РК и ВМ взаимно перпендикулярны.4*. Дан угол в 54°. Можно ли с циркуля и линейки построить угол в 18°?​

Точка О2 - центр вписанной окружности в  тр-ник АВС. Точка О1 - центр заданной окружности. 
Около тр-ка АВС опишем окружность.
АО2, ВО2 и СО2 - биссектрисы соответствующих углов.
Продолжим отрезок СО2 до пересечения его с описанной окружностью в некой точке К. 
∠АО2К=∠А/2+∠С/2, т.к. ∠АО2К является внешним к тр-ку АСО2.
∠ВАК=АВК=∠С/2, т.к. оба опираются на те же дуги, на которые опираются равные углы из вершины тр-ка АВС. КА=КВ по этой же причине.
Заметим, что в тр-ке АКО2 ∠КАО2=∠АО2К, значит он равнобедренный.
КА=КО2=КВ, значит точка К - центр описанной около тр-ка АВО2 окружности.
Тр-ник АВС - равнобедренный. В нём СМ - биссектриса и высота. В прямоугольном тр-ке АСМ ∠А+∠С=90°. Заметим, что и  в тр-ке АСК ∠САК=90°, значит ∠CВК=90°. СА и CВ - касательные к окружности с центром в точке К. Точки А и В лежат на этой окружности. Но СА и CВ - касательные к заданной окружности, значит точки К и О1 совпадают. 
О1О2 - радиус заданной окружности, значит центр вписанной в тр-ник АВС окружности лежит на данной окружности.
Доказано.