Точки m и n лежат в одной полуплоскости относительно прямой hp, причем mh⊥hp и np⊥hp.известно также, что ∠mph=∠nhp. докажите равенство углов hmp и phn. 98

диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольных треугольников, на которые она делит прямоугольник.

пусть диагональ будет х.тогда одна сторона х-4,вторая х-8составим и решим уравнение по т. пифагора: х²=(х-8)²+(х-4)²х²= х²-16х+64+ х²-8х+16х²-24х+80=0 

дискриминант равен: d=b²-4ac=-24²-4·1·80=256так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корнях₁=20х²=4 и не подходит по величине диагональ равна 20 смдлина прямоугольника равна 20-4=16 смширина равна 20-8=12 смплощадь прямоугольника - произведение длин его сторон: s=16·12=192 см²

между ab и abc угол равен 0 (ab лежит в плоскости abc). вот найти угол (обозначу его ф) между ae и abc - это интересная .

я бы не стал решать эту , если бы у неё не было совершенно фантастической красоты метода решения. так-то её технически ничего не стоит сделать.

я специально поменяю обозначения. обычно это признак неквалифицированного подхода, но в данном случае это диктуется методом решения. 

если автору не понравится способ решения - обратитесь к модератору, он это удалит :

 

итак. берется куб abcda1b1c1d1. трехмерная фигура с вершинами a1bc1d - тетраэдр (это треугольная пирамида, у которой все грани - равносторонние треугольники).

поскольку (например) фигура cc1bd - тоже правильная пирамида (хотя и не тетраэдр), то вершина с проектируется на плоскость bdc1 в центр равностороннего треугольника bdc1. точно так же - в ту же точку - проектируется на плоскость bdc1 и вершина a1 тетраэдра. получается, что и а1 и с лежат на одной прямой, перпендикулярной bdc1. то есть большая диагональ a1c куба abcda1b1c1d1 перпендикулярна плоскости треугольника bdc1 и пересекает её в центре этого треугольника. 

само собой, все остальные большие диагонали куба тоже перпендикулряны граням тетраэдра  a1bc1d, и тоже проходят через центры граней. 

поэтому : )

углу ф соответствует угол между диагональю куба bd1 и плоскостью bdc1.

поскольку все диагонали пересекаются в центре куба "о", то искомый угол равен

ф = 90°  - ф1, где ф1 - угол между любыми двумя большими диагоналями куба. : (если из центра о, принадлежащего bd1 опустить перендикуляр на bdc1, этот перпендикуляр будет - как я только что доказал - частью диагонали куба a1c, отсюда это и получается). 

на этом можно было бы красоты завершить, и свести к техническому вычислению этого угла. но можно и добавить красот : ))

дело в том, что расстояние от a1 до плоскости bdc1 в два (в 2) раза больше, чем от c до этой же плоскости. то есть плоскость bdc1 делит a1c в пропорции 2/1, считая от вершины a1. это просто увидеть, если провести плоскость b1d1a, которая параллельна плоскости bdc1 (потому что обе перпендикулярны a1c), и заметить, что отрезок диагонали a1c от a1 до плоскости   b1d1a равен отрезку этой диагонали между плоскостями  b1d1a и bdc1. в самом деле, эти плоскости делят отрезок a1c1 пополам, поэтому и любую другую наклонную из точки a1 они делят пополам (теорема фаллеса : точно так же, отрезку a1c между плоскостями   b1d1a и bdc1 равен и отрезок от с до  bdc1, поскольку эти плоскости делят отрезок ac пополам (а, следовательно, и любую другую наклонную из точки с к этим плоскостям). получились, что диагональ a1c разделена порскостями b1d1a и bdc1три равных отрезка, откуда и следует соотношение длин 2/1. но это означает, что от центра куба до плоскости  bdc1 - ровно 1/6 диагонали a1c. с учетом того, что от центра до вершины куба 1/2 диагонали, косинус угла ф1 между большими диагоналями куба равен 1/3. само собой, это - синус ф. 

а косинус - уж найдите сами : (он равен 2√3/3)