Через точку к а плоскости альфа проведены наклонные ав, ас и перпендикуляр ао. ав=2а. углы между прямыми ав, ас и плоскостью альфа равны 30 и 45 градусов соответственно. найдите длины перпендикуляра ао наклонной ас иеё проекции

по условию перпендикуляр ао, наклонные ав и ас и их проекции ов иос  образуют прямоугольные треугольники аов и вос (угол о- прямой). поскольку угол оса=45⁰, то треугольник аос - прямоугольный равнобедренный, следовательно перпендикуляр ао равен ее проекции ао.

в треугольнике аов угол аво=30⁰. в прямоугольном треугольнике катет, что лежит против угла 30⁰ в 2 раза меньше гипотенузы, имеем ао=2а/2=а, также ао=ос=а.

из треугольника аос: ас= а/sin45⁰=а√2.

ответ: ао=а, ос=а, ас=а√2

Task/27357759 bc || ad ; ac = 4 см; ∠abc = 110° ;   * * * ∠abc = 120°  * * * ∠bac = 30°  ;   ad = 8  см .  cd - ? bc || ad  ⇒ ∠bad + ∠abc =180°    ⇒ ∠bad =  180° - ∠abc. ∠cad = ∠bad - ∠bac = 180° - ∠abc -  ∠bac =180° - 110° -  30°  =40°. * * * ∠cad  = 180° - 120° -  30°  =30°. * * * δcad  определен  по углу  ∠cad  и  сторонам  ac и ad  по теореме косинусов : cd² =ac² +ad² -2*ac*ad*cos∠cad ; cd² =4² +8² -2*4*8*cos40° =80 -  64cos40°  ; cd =√(80 -    64cos40°) =4√(5 - 4cos40°)  . * * *  cd =  √(80 -    64cos30°) =4√(5 - 4cos30°)=4√(5 -2√3) * *  *

Так как ∠abc=120° и ∠bac=30° то угол ∠acb=180°-120°-30°=30° значит ∠bac=∠acb=30° => δabc равнобедренный, от этого следует что ab=bc если построить высоту с угла a на сторону bc, то он образует прямой треугольник cah с углом ∠ach=30° => ah=sin30°ac=1/2*4=2см если построить высоту с угла c на большее основание ad то он образует два прямоугольных треугольника ach₁ и dch₁ из δach₁ ch₁=ah=2см ac=4см значит по пифагору ah₁=√ac²-ch₁²=√12 h₁d=8-√12 из δdch₁  ch₁=ah=2см h₁d=8-√12 значит по пифагору cd²=ch₁²+h₁d² cd²=4+(8-√12)²=4+64-16√12+12=80-16√12 cd=