Почему площадь равностороннего треугольника равна a^2√3/4?

площадь любого треугольника равна 0,5*a*b*sina

где а и b стороны треугольника, а a- угол  между сторонами.

в равностороннем треугольнике все углы в 60 градусов

sin60 =sqrt(3)/2. а стороны равны. подставляем в формулу.

Для начала найдём сторону ромба по теореме косинусов из треугольника, основание которого меньшая диагональ, а боковые стороны-стороны ромба: a=d корень из 1/2(1-cosb); найдём площадь оснований ромба: s=2a^2sinb= d^2sinb/1-cosb; по теореме пифагора, из треугольника, построенного на половинах диагоналей и стороне основания, найдём вторую диагональ: d2=d/2 корень из 1+cosb/1-cosb; из прямоугольного треугольника, построенного на большей диагонали, высоте призмы и её диагонали основания, найдём высоту по тангенсу угла а; h=d*tg a/2 корень из 1+сosb/1-cosb найдём площадь боковой поверхности, которая равна площади одной гране, умноженной на 4: 2d^2tg a/ корень из 1/2(1-cosb) прибавим данную площадь к площадям основ и подучим искомую площадь полной поверхности

пусть авс-прямоугольный треугольник. тогда гипотенуза ас=17 см. пусть медиана выходит из точки а пусть аm — медиана(тогда bm=cm) обозначим катет bc через y,  ac через x, тогда bm=cm=y\2,по теореме пифагора получаем систему и з двух уравнений первое х^2+y^2=17^2 второе x^2+(y\2)^2=15^2 отняв от первое второе получаем 3\4*(y^2)=64 y^2=256\3 y=(+\-)16\корень(3)=(+\-)16\3*корень(3) нас удовлетворяет только положительный корень(длина катета не может быть отрицательным числом), так что y=16\3*корень(3) подставив найденное значение y в первое уравнение находим х х^2+y^2=17^2 х^2+256\3=17^2 х^2=611\3 х=(+\-)корень(611\3) (нас удовлетворяет только положительное значение по той же причине что и выше) х=корень(611\3)ответ корень(611\3) и 16\3*корень(3) катеты треугольника