1)в равностороннем треугольнике сторона равна 2 корня из 3. найдите радиус окружности, вписанной в треугольник 2) около остроугольного авс описана окружность. точка о пересечения серединный перпендикуляровудалена от прямой ав на 6 см. найдите угол ова и радиус окружности, если угол аос=90, угол овс=15 3) в параллелограмм авсd с углом а=45 и стороной ad=10 корней из 2 (дм), вписана в окружность: а) найдите радиус окружности б)найдите сумму расстояний от вершины d до точек касания окружности с прямыми ad и dc. 4) даны окружности диаметра ав и точка о внутри нее. используя только линейку без делений, опустите перпендикуляр из точки о напрямую ав.

1)радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности найдем по формулеr=а: 2√3 r= 2√3: 2√3=1см2.все треугольники, получившиеся соединением центра окружности о с вершинами треугольника авс - равнобедренные.поэтому угол осв=овс и равен 15°вос=180-30=150°воа=360-150-90=120° ова=180-120: 2=30°радиус во, как гипотенуза, вдвое больше катета, противолежащего углу 30° градусов. радиус равен 2*6=12 см

3.

в четырехугоьник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон его равны

отсюда следует, что данный параллелограмм- ромб. 

опустив высоту из тупого угла ромба на его сторону, получим равнобедренный прямоугольный треугольник ( острый угол =45 градусов). его гипотенуза - диагональ квадрата с такими же, как высота, сторонами. 

d=а√2

10√2=а√2

а=10

высота этого ромла равна диаметру вписанной   в него окружности. 

радиус равен10: 2=5 дм

расстояние от основания высоты до  вершины   равно 10√2-10

от точки касания оно в два раза меньше и равно 5√2-5

таким же будет расстояние от  d до точки касания окружности с  dс по свойству касательных из точки к окружности. 

сумма этих расстояний 10√2-10

 

 

нарисуем   треугольник, проведем высоту из вершины прямоуго угла и обозначим ее сн.

у высоты прямоугольного треугольника есть свои собственные свойства. 

одно из них:

1) катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком вн гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.

катет св=9

отрезки, на которые высота поделила гипотенузу, равны 2х и 3х (2х: 3х=2: 3), причем 3х ближе к вершине в ( проекция стороны св)

а всего в гипотенузе таких отрезков 5х.

св²=вн·ва

81=3х·5х

5х²=81

х=0,6√15

вн=3·0,6√15=1,8√15

на=2·0,6√15=1,2√15

2)отношение отрезков гипотенузы,   на которые высота делит ее, равно отношению соответственных катетов. 

9: ас=1,8√15: 1,2√15

9: ас=1,5

ас=6 

s авс=9·6: 2=27 ( ? )²

Т.к. грани одинаково  наклонены к плоскости основания, то высота пирамиды опускается в центр вписанной в трапецию окружности. свойство описанного четырёхугольника: суммы противолежащих сторон равны, значит сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, следовательно периметр равен: р=2(2+4)=12 площадь боковой поверхности: sбок=рн/2=12·5/2=30 ед² радиус  окружности, вписанной в равнобокую трапецию: r= , высота трапеции:   h=2r= =√8=2√2 площадь трапеции: sт=h(a+b)/2=6√2 общая площадь: sобщ=sт+sбок=30+6√2 ответ: a. 30+6