Знайдіть площу сегмента, якщо радіус круга 4 см, кутова міра дуги 90о.

Сделаем рисунок. обозначим вершины трапеции авсд. опустим из вершины с тупого угла высоту сн.  способ 1) по свойству высоты равнобедренной трапеции, опущенной из вершины тупого угла, она делит основание на отрезки, б ó льший из которых равен полусумме оснований, меньший - их полуразности.  диагональ, высота и б óльший отрезок основания образуют прямоугольный треугольник асн  с углом сан= 60°. т.к сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°, ∠асн=30° катет ан противолежит этому углу и по свойству такого катета равен половине гипотенузы.    гипотенуза=диагональ = 4.  ан=4 : 2= 2см ан – полусумма оснований, т.е. она равна средней линии трапеции, это ответ. 

способ 2).

проведем среднюю линию трапеции mn и две высоты из тупых углов.   

ан=ас: 2=2 (найдено в первом варианте). 

кр=1 – средняя линия ∆ асн. ен=кр=1 ( крне - прямоугольник по построению). 

тогда ае=1, и мк=рn=0,5 – средняя линия равных ∆ аве и сdh

мn=мк+kp+pn=2  см.

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120 , а боковая сторона 16 см. Найдите радиус круга, описанного вокруг треугольника (в см)

Объяснение:

ΔАВС , АВ=ВС=16 см, ∠АВС=120°.

Центр описанной окружности лежит  в точке пересечения серединных перпендикуляров ⇒ВН- серединный перпендикуляр , а в равнобедренном треугольнике и медиана (АН=НС) и биссектриса (∠АВН=∠НВС=60°).

ΔАВС-прямоугольный , sin60°=АН/АВ ,  √3/2=АН/16 , АН=8√3 см.

Тогда СА=16√3 см.

R=а/sinα  ,    R=АС/sin∠АВС  ,   R=16√3/sin120°  , sin120°=cos30°=√3/2 ,

R=32 см