Вправильно четырёхугольной пирамиде sabcd все рёбра равны. точки m и n - середины рёбер sa и sс. а) в каком отношении плоскость bmn делит ребро sd? б) найдите площадь стечения пирамиды sabcd плоскостью bmn, если ее ребра равны 6.

Пусть данные плоскости а и b.

А ∈ а, В ∈ b.

АН⊥СН, ВС⊥СН

ВН - проекция АВ на плоскость b,

АС - проекция АВ на плоскость а.

∆ АСН - прямоугольный, ∠АНС=90°

По т.Пифагора АН²=АС²-СН²=256-144=112

АН перпендикулярен линии пересечения взаимно перпендикулярных плоскостей, следовательно, АН перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости b и проходящей через Н.

∆ АНВ - прямоугольный. ∠АНВ=90°

По т.Пифагора АВ²=АН²+ВН²=512

АВ=√512=16√2

Или:

∆ СНВ - прямоугольный, ∠ВСН=90° ⇒

По т.Пифагора СВ²=ВН²-СН²=400-144=256

ВС=√256=16

∆ АСВ- прямоугольный. ∠АСВ=90°

По т.Пифагора АВ² = АС² +ВС² =256+256=512⇒

АВ=√512=16√2

Площадь боковой поверхности конуса s =  πrl (r-радиус основ.,  l- образующая) в нашем случае s = 2√2π  ⇒ rl = 2√2 высота, образующая(l) и радиус основ.(r) образуют прям. треугольник раз  образующая наклонена к плоскости основания под углом 45, то r/l = cos45  =  √2/2  имеем систему  {rl = 2√2 {r/l =   √2/2  решив эту систему получаем   l = 2,   r =  √2 площадь сечения s = 1/2 * l² * sin30 = 1/2 * 4 * 1/2 = 1 ответ: а)1             б)  √2