Квадрат зі стороною 3 корінь із 2 см повернули навколо його центра на кут 45°. знайдіть периметр восьмикутника вершинами якого є вершини поданого і утвореного квадратів

треугольник kcd очевидно правильный, поэтому r =  √7; - это треть высоты kcd, которая, очевидно является высотой и трапеции abkd. 

в эту трапецию можно вписать окружность, поэтому, если верхнее основание bk = x, а нижнее ad = a, то боковые стороны ab = kd = (a + x)/2; (суммы противоположных сторон равны).

если продлить ab и kd до пересечения в точке е, то aed - правильный треугольник, и окружность, вписанная в трапецию abkd, является вписанной и в aed. диаметр этой окружности равен 2/3 высоты aed, а высота ebk, соответственно, равна 1/3 высоты aed. из очевидного подобия элементов трегуольников ebk и aed x = a/3;

то есть ab = kd = kc = 2*ad/3 = 2*a/3;  

из такого же подобия элементов треугольников aed и kcd следует, что радиус вписанной в трапецию окружности r1 = 3r/2; (то есть r/r1 = kc/ad)

если центры окружностей o1(вписаная в aed радиуса r1 = 3r/2)   и o2 (вписанная в kdc радиуса r), то точка o2 проектируется на ad в точку d, а точка o1 - в середину ad, поэтому, если   o1o2 = p, то p^2 = (a/2)^2 + (r1 - r)^2;

при этом a/2 =   (√3)*r1 =    (3√3/2)*r;

откуда p^2 = ((3√3/2)^2 + (1/2)^2)*r^2 = 7*r^2 = 7^2;

o1o2 = 7;

обозначения: о - центр основания (проекция вершины р на основание, ро - высота пирамиды), к - середина mn. 

mn = 3√2. 

в треугольнике pom (или в pon, они равны) po = 4; om = 3; поэтому pn = pm = 5;

pk =  √(5^2 - (3√2/2)^2) =  √(41/2);

площадь треугольника pmn spmn = (3√2)*√(41/2)/2 = 3√41/2;

площади треугольников pcm и pcn равны 3*5/2 = 15/2;

площадь основания - треугольника cmn равна 3*3/2 = 9/2;

отсюда объем пирамиды pcmn v = (9/2)*4/3 = 6;

площадь всей поверхности s =  3√41/2 + 15/2 + 15/2 + 9/2 = 3(13 +  √41)/2;

радиус вписанной сферы r = 3v/s = 3*6/(3(13 +  √41)/2) = 12/(13 +  √41);

 

если не понятно, почему   r = 3v/s, то надо мысленно соединить центр сферы с вершинами пирамиды - тогда она разобьется на 4 пирамиды, в которых основаниями служат боковые грани, а высотами - радиусы сферы, проведенные в точки касания.