Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а , боковое ребро составляет угол 45 градусов с плоскостью основания. найти объем пирамиды.

Авс - равнобедренный, значит углы при основании равны, значит углом в 120 градусов может быть только ! треугольника (пусть вершиной будет точка в). значит  ∠вас=∠вса=(180-120)/2=30. теперь из точки а опустим высоту на сторону вс, допустим в точку к. значит нужно найти ак. треугольник акс - прямоугольный (высота ак), угол ∠кса=∠вса=30, и у нас есть основание ас=4см, значит что бы найти ак нужно найти синус  ∠кса, который: sin ∠кса=ак/асsin30=ак/4, ка=sin30×4, из таблиц знаем, что  sin30=1/2ка=1/2 ×4=2см

Строить просто: на прямой а откладываем циркулем основание ав, замерив его циркулем же по данному отрезку. на этой же прямой откладываем еще один отрезок вd (продолжение первого).  длина аd в 2 раза больше основания. теперь раствором циркуля, равным двум отрезкам основания (аd), из концов первого отрезка а и в (основания) делаем засечки с одной стороны от основания. пересечение этих засечек (дуг) дает нам точку с - вершину искомого треугольника. соединяем по линейке три точки.  полученный треугольник авс - искомый.