Впаралелограмме abcd точка m середина стороны ав. известно, что мс=мd. докажите что данный паралелограмм прямоугольник.

дано: авсд - параллелограмм

ам=мб мс=мд.

доказать: авсд - прямоугольник

 

доказательство: так как ам=мб ад=вс и мс=мд, то треугольники амд и амс равны по третьему признаку(по трём сторонам)

  так как эти треугольники равны, то и углы у них равны(угол всм = углу мда; угол свм = углу угол смв = углу дма) ,   нас интересуют углы и свм. они односторонние, значит их сумма должна быть 180 градусов (так как вс и ад параллельны а ав их пересекает, а при пересечении двух параллельных прямых третьей сумма односторонних углов равна 180 градусов). следовательно угол и угол сбм = 90 градусов, а если в параллелограмме хотябы один угол прямой, то это прямоугольник.

всё.

 

 

Вектор кn(-2-4=-6; )=3) вектоp pm()=6; -1-2=-3)решение: найдем  скалярное произведение векторов: a  ·  b  =  ax  ·  bx  +  ay  ·  by a  ·  b  =  (-6)  ·  6  +  3  ·  (-3)  =  -36  -  9  =  -45 найдем  длины векторов: |a|  =  √ ax2  +  ay2  =  √ (-6)2  +  32  = =  √36  +  9  = √45  =  3√5 |b|  =  √ bx2  +  by2  =  √ 62  +  (-3)2  = =  √36  +  9  = √45  =  3√5 найдем  угол между векторами: cos α  =  a  *·  b/|a||b| cos α  =  -45  /3√5  ·  3√5 = -1

определение: "два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны. сонаправленные вектора, это вектора, координаты которых пропорциональны и коэффициент пропорциональности положителен. противоположно направленные вектора имееют отрицательный коэффициент пропорциональности".

в нашем случае:

xa/xb = 2/-4 = -1/2. ya/yb = 5/10 =1/2. так как   -0.5*b ≠ a,   и   0,5*b ≠ a, то вектора   a и b не коллинеарные.

xc/xb = -1/-4 = 1/4. yc/yb = -2,5/10 =-1/4. так как   0,25*b ≠ c,   и   -0,25*b ≠ c, то вектора   b и c не коллинеарные.

xa/xc = 2/-1 = -2. ya/yb = 5/-2,5 =-2. так как   -2*c = a,, то вектора a и c коллинеарные.   и противоположно направлены.