4. в прямоугольном треугольнике асв (∠c = 90°) ав = 10, ∠abc = 30°. с центром в точке а проведена окружность. каким должен быть ее радиус, чтобы: а) окружность касалась прямой вс; b) окружность не имела общих точек с прямой вс; c) окружность имела две общие точки с прямой вс? ​

сумма углов выпуклого n-угольника и одного из его внешних углов равен 990°. найдите n.

  внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. сумма одного внутреннего и внешнего угла   при нем   равна развернутому углу, т.е. 180°. тогда на долю остальных n' = (n-1) углов данного многоугольника приходится 990°-180°=810°. найдем   количество n' остальных углов.   810°: n'=180°(n'-2): n'; , откуда n'=6. а с углом. который мы вычли, число углов (и, естественно, сторон) данного многоугольника равно 7.  

или: формула суммы углов выпуклого n-угольника 180°(n-2). сумма всех внешних углов многоугольника 360°. предположим, что этот многоугольник правильный. тогда величина внешнего угла 360°: n.   составим уравнение: 180°(n-2)+360°/n=990°.   сократим для удобства все члены уравнения на 90 и умножим их на n , после чего соберем все его члены по одну сторону и получим квадратное уравнение 2n²-15n+4=0. корни этого уравнения ≈ 7,54 и ≈0,25. число сторон многоугольника не бывает дробным. пусть n=7.   тогда сумма внутренних углов семиугольника 180°•5=900°, а добавленный к ней внешний угол 990°-900°=90°. смежный с ним внутренний может быть равен только 90°.   данный многоугольник   не является правильным, его углы   могут иметь разную величину, но их сумма будет 900°. ( например, 6 углов будут по (900°-90°): 6=135°, а седьмой равен 90°, а их сумма 6•135°+90°=900°).   ответ: n=7

судя по сумме внутренних углов многоугольника из условия это не треугольник, не четырехугольник и не дельтоид. тогда верны следующие рассуждения.

сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180*(n-2), где n - число углов многоугольника.

величина внешнего угла данного выпуклого многоугольника не может быть больше 90°. исходя из условия составляем неравенство:

180*(n-2)≤990-90;

n-2≤5

n≤7;

при n=6 сумма углов равна 180*4=720° и внешний угол равен 990-720=270, что противоречит правилу. следовательно число углов равно 7.

или другой способ: максимальное количество углов многоугольника по данным составляет 2+990/180=7,5 (при величине внешнего угла стремящегося к нулю). следовательно ближайшее количество углов - 7.