50 с точки до прямой проведения перпендикуляр и наклонные fm и fn, ∠fmk = 30 °, ∠kfn = 45 °, mk = 5√3 см. найти fn

1) чертим систему координат: отмечаем начало - точку (0; 0), положительное направление вправо и вверх отмечаем стрелками, подписываем оси: вправо - х  и вверх  - у. единичный отрезок по каждой из осей выбираем в 1 клетку.

2) отмечаем на координатной плоскости точку а(7; 5) ( 7 единиц по х вправо от нуля  и вверх по у  5 единиц).

3) чертим прямую х=4, для этого ставим две точки, например (4; 1) и (4; 4) и проводим через них прямую линию

4)  чертим прямую у= 3 для этого ставим другие две точки, например (2; 3) и (5; 3) и проводим через них прямую линию

5) замечаем, что точка а по вертикали выше прямой у=3 на 2  клетки (1 клетка = 1 ед отрезок), значит, точка в будет  ниже прямой у=3  на 2 клетки  (чтобы сохранить симметрию). ставим у казанном месте точку в и определяем её координаты. точка в(7; 1)

6) замечаем, что точка а  правее прямой х=4  на 3 клетки, значит, чтобы сохранялась симметрия, точка д будет левее прямой х=4  на 3 клетки. ставим в указанном месте точку д и определяем её координаты. получаем, д(1; 5)

7) аналогично, определяем, координаты точки с, которая симметрична точке в относительно прямой х=4  и симметрична точке д относительно прямой у=3.

точка в расположена правее оси х=4 на 3 клетки, а значит точка с будет левее оси х=4 на 3 клетки. ставим в указанном месте точку с и определяем её координаты. с(1; 1)

иначе:

точка д расположена выше оси у=3 на 2 клетки, значит, тоска с будет расположена ниже оси у=3 на 2 клетки. ставим в указанном месте точку  с и определяем её координаты. точка с(1; 1)

8) соединяем точки а-в-с-д. получаем прямоугольник.

теорема. площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

доказательство.

проведем высоты вн и се. докажем, что s(abcd) = ad · bh.

δавн = δ dce - они прямоугольные и равны по гипотенузе (ав = сd как противоположные стороны параллелограмма) и катету (вн = се как перпендикуляры, проведенные от одной из параллельных прямых к другой). значит, равны и их площади (есть аксиома площади: равные фигуры имеют равные площади), т.е. s(abh) = s(dce).

заметим, что s(abcd) =s(abcе) - s(dсе),

а также s(нbcе) = s(abcе) - s(abн).

откуда следует, что s(abcd) = s(нbcе) , т.к. выше доказано, что s(abh) = s(dce). но нвсе - прямоугольник, а площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон (доказывается ранее при темы "площпди многоугольников"), т.е. s(нbcе) =ad · bh.

следовательно, и s(abcd) = ad · bh.

теорема доказана.