Точки a и b делят окружность с центром o на дуги amb и acb так, что дуга acb на 400 меньше дуги amb. am – диаметр окружности. найдите углы amb, abm, acb. если можно, с рисунком)

Втреугольнике: катеты а и b, гипотенуза  с, прямой угол с, r - радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности. начнём с описанной окружности. поскольку  угол с прямой, то этот угол опирается на диаметр окружности, т.е. диаметр окружности есть его гипотенуза, и. с = 2r теперь вписанная окружность. опустим из её центра на катеты перпендикуляры, эти перпендикуляры равны r- радиусу вписанной окружности. два взаимно перпендикулярных радиуса r и отрезки катетов, прилежащих к вершине прямого угла с, образуют квадрат со стороной r. тогда отрезки катетов, прилегающих к вершинам острых углов, равны   (а - r) и (b - r). третий перпендикуляр, опущенный из центра окружности на гипотенузу делит её на отрезки, равные (а - r) и (b - r). получается, что гипотенуза равна c = a - r + b - r = a + b - 2r. но ранее мы получили, что с = 2r тогда 2r = a + b - 2r 2r + 2r = a + b r + r = 0.5(a + b) что и требовалось доказать.

Якщо даний чотирикутник розділити діагоналлю (наприклад ас)  на два трикутники, то якщо з"єднати попарно  середини сторін  (точки м і n,   та к і р) отримаємо середні лінії трикутників, які паралельні третій стороні, тобто діагоналі, а отже паралельні між собою (мn  || kp). якщо провести у чотирикутнику і іншу діагональ (вд), то аналогічно отримаємо, що мк || np.отже отримали чотирикутник мnpk у якому сторони попарно паралельні, як відомо такий чотирикутник - це паралелограм, а у паралелограма протилежні кути - рівні, що й треба було довести.