Решите ! отрезки ab и cd- диаметры окружности с центром o. найдите периметр треугольника aod, если известно, что cb = 13 см. ab = 16 см.

по условию ab и cd - диаметры ⇒ ab=cd=16 см

как известно, диаметры пересекаются в центре окружности и делятся пополам ⇒

ao=ob=oc=od=16/2=8 см

рассм. тр. aoв и cob - они равны по двум сторонам и углу (ao=ob=oc=od, угол aod=cob-накрест лежащие) ⇒ ad=cd=13 см

p(aod)=ad+ao+od=13+8+8=29 см

 

периметр треугольника aod равен 29 см

 

ответ: периметр равен 29 см

ав=сд равны 16, т.к. ав и сд - это диаметры окружности, соответственно равны. если св = 13 см, то ад тоже равен 13 см, т.к. треугольники аод и сов равны. нам известна длина ав, найдем длину ао=ав/2=16/2=8 см. мы выяснили, что ав равен сд, значит ао=од=ов=ос=8 см. периметр треугольника (сумма длин всех сторон) аод = ао+ад+од=8+13+8=29 см.

cоедини конец диаметра в с точкой е.

получишь прямоугольный треугольник аве, т.к. вписанный треугольник,одна из сторон которого - диаметр, является прямоугольным.

ве - высота треугольника амв, в то же время катет прямоугольного треугольника аве.

можно ве определить по теореме пифагора, можно просто вспомнить, что третья сторона этогоегипетского треугольника равна 4, т.к. две других - 3 и 5,   и второй катет прямоугольного треугольника с гипотенузой 5 и катетом 3 всегда равен 4.

итак, имеем высоту треугольника амв, равную 4 см, имеем основание этого треугольника

ам=2+3=5 см

площадь тр-ка амв находится по классической формуле

s=½ h·a

s=4·5: 2=10 cм²

это практически устная . надо знать несколько простых вещей.

1. отрезок ,соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований. 

ясно, что этот отрезок - часть средней линии, заключенная между диагоналями. куски средней линии между боковой стороной и диагональю (все равно с какой стороны) равны половине малого основания - как средние линии (в обозначениях это средние линии треугольников klm и nlm). если обозначить основания как a и b, то 

12 = (a + b)/2 - 2*(b/2) = (a - b)/2;

кроме того, задано, что (a + b)/2 = 24;  

отсюда легко находим a = 36, b = 12;

рассмотрим теперь подобные треугольники kan и lam. ln/kn = 12/36 = 1/3;

поэтому al/ak = am/an = 1/3; но ak - al = 10; an - am = 26, отсюда сразу находим al = 5, ам = 13.

вот тут нам пифагор здорово облегчает жизнь - получился треугольник со сторонами (5,12,13), то есть прямоугольный. по известной формуле радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен

r = (5 + 12 - 13)/2 = 2. это ответ.

 

кстати, эта формула получается просто, поскольку отрезки касательных к вписанной окружности, из которых складываются стороны, включают и сам радиус r.

и, между прочим, в с самого начала задана прямоугольная трапеция.