Втрапеции abcd меньшая диагональ ас=8 и лежит на биссектрисе угла dab=60. кроме того диагональ ас перпендикулярна боковой стороне. найдите длину средней линии трапеции.

кут асд=90

ад=ас/косинус 30=16/(корень 3)

авс-рівнобедренний кут вас=куту вса = 30

св = половина ас/косинус 30=8/(корень 3)

середня лінія= 12/(корінь 3)

а) доказать что угол а = углу рвс., может углу dbc

треугольники abc  и сdb подобные,

у них есть углы по 90 градусов

а угол с общий

с первого угол а=180-90(уогл b)-угол с=90-с

для второго угла

180-90(угол d)-угол с=90-с

тоесть они равны

тоже из подобности

б)если а меньше за с, то а меньше за угол авд

то катет вд будет меньше за ад(по теореме синусов)  в треугольнике адв

а в треугольнике вдс

угол с больше за угол дbс, то дс меньше за вд

тогда мы имеем

dc< bd< ad

тоесть, получаеться, что  ad> dc

 

 

 

1)по свойству касательных, проведённых из одной точки, ab=ac. значит, δbac - равнобедренный. опять же, по свойтву касательных проведённых из одной точки,

< bad = < cad. из этого непосредственно вытекает, что ad - биссектриса,  проведённая к основанию, а значит и медиана. bd = cd.

2)рассмотрю δbdo, < d = 90°, так как ad ещё и высота по известному факту.

пусть bd = x, тогда по теореме пифагора r = √9+x². осталось только найти x.

3)рассмотрю δoba, < b = 90°, так как по свойству, радиус перпендикулярен касательной в точке касания.

bd - высота δoba - по доказанному выше. а высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, как в данном случае ,есть среднее между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. значит,

bd = √3*5+1/3 = √16 = 4. bd = x = 4

4)теперь подставлю в полученную выше формулу, и получу ответ:

bo = √9+x² = √9+16 = √25 = 5

решена )