Докажите, что окружность, построенная на боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре, проходит через середину основания.

в равнобедренном треугольнике медиана к основанию совпадает с высотой. поэтому, если провести окружность через концы одной из боковых сторон и середину основания, то в этой окружности прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой-медианой и половиной основания, является вписанным, и, следовательно, боковая сторона, лежащая напротив вписанного прямого угла, будет диаметром. 

таким образом, оркужность, построенная на боковой стороне, как на диаметре, и окружность, проходящая через концы боковой стороны и середину основания - это одно и то же : ))

собственно, всё доказано.

рассмотрим произвольный равнобедренный треугольник abс с основанием bc, на боковой стороне которого как на диаметре построена окружность o(o; a).  допустим, что основание этого треугольника пересекает окружность в точке h. докажем, что сh = bh. соеденим вершину a с точкой h отрезком ah. этот отрезок будет являться высотой, проведённой к основанию данного треугольника ( < ahb - вписанный угол по определению, притом он опирается на дугу, концы которой соединяет диаметр, т.е. на полуокружность, а значит, его градусная мера равна 90 гр., откуда отрезок ah - высота по определению). но высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника также является и медианой, т.е. сh = bh, что и требовалось доказать.  

1)  компланарные векторы- это : если  векторы свести к общему началу, то они лежат в одной плоскости. а) ad, ab1, b1d. они образуют  δ, а  δ задаёт плоскость. так что эти векторы компланарные. б)ав, ad, aa1- эти векторы не лежат в одной плоскости. они не компланарны. 2)a)  с1в1 + с1d1+cc1= cc1 + c1d + c1b1= cd1 + c1b1= =cd1 + cb = ca1     б)ав + а1d1 + aa1 = aa1 + a1d1+ab=ad1+ab=ac1 3) a)  ac1 = ab + ad + aa1     б) 1. d1a1 + a1c1 = d1c1           2. d1a1-d1c1=a1c1           3.aa1 + a1c = ac         4.ac = a1c1           5.aa1 = ac - a1c = d1a1-d1c1-a1c

Найдем  длину стороны ав, зная   координаты точек а и  в  ав²  = (-))²+(4-1)² = 4+9=13, ав =√13 таким же образом найдем вс вс² =())²+(1-4)²=4+9=13,   вс=√13, значит ав=вс, если две стороны в треугольнике равны, это равнобедренный треугольник. сейчас про площадь допишу. пусть вн - высота треугольника, точка н- будет серединой стороны ас, так как тре-ник равнобедренный, найдем координаты точки н х=(-4+0)/2, у=(1+1)/2   (координаты середины  равны полусуммам концов отрезка) имеем точку  н(-2; 1).   теперь найдем длину высоты вн вн²=(-2-0)²+(1-1)²=4, вн=2,  найдем длину ас ас²=())²+(1-1)²=16, ас=4, теперь найдем площадь по формуле s=1/2(ас*вн) s=1/2(2*4)=4см²   ответ 4см²